СУБД

или                                       

а в непрерывном  варианте

    (8)

В некоторых  случаях используют упрощенные варианты однопродуктовой динамической модели. Рассмотрим некоторые из них.

1. Открытая однопродуктовая  динамическая модель Леонтьева

Предполагают, что все валовые капитальные  вложения идут на ввод в действие новых основных производственных фондов (основные фонды не изнашиваются и амортизационных отчислений нет).

Считается, что прирост выпуска продукции

                                (9)

пропорционален капитальным вложениям где – норма инвестиций.

Тогда, учитывая, что  получим однопродуктовую открытую динамическую модель Леонтьева

              (10)

В непрерывном  варианте однопродуктовая динамическая макромодель Леонтьева имеет вид

            (11)

С математической точки зрения эта модель представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Зная потребление и можно найти

2. Замкнутая однопродуктовая  модель Леонтьева

Предполагают, что непроизводственные потребление  идет полностью на восстановление рабочей силы

Тогда, введя норму потребления (количество средств, необходимых для поддержания в работоспособном состоянии одного человека-час) получим 

                                             (12)

Считаем, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции

                                            (13)

где - норма трудоемкости (количество человека-часов, необходимое для производства единицы валового продукта).

Подставляя (13) в (12) и далее в (11), получим «замкнутую» по потреблению модель расширенного воспроизводства

     (14)

которая описывается однородным дифференциальным уравнением

                            (15)

где

                           (16)

Тогда развитие моделируемого экономического процесса определяется решением уравнения

                                (17)

Итак, можно  сделать вывод о том, что выделение из конечного продукта накапливаемой части приводит к рассмотрению динамических моделей и применению для их исследования в качестве математического аппарата теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечно-разностных (в многошаговом варианте) уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Многопродуктовые  модели деятельности специализированных объектов производства товаров народного потребления.

Многопродуктовая  динамическая модель экономики, состоящая  из секторов, обеспечивающей выпуск видов валовой продукции в объемах соответственно, использующей каждый вид выпускаемой продукции всеми секторами и внешними потребителями, представляет собой следующую систему уравнений связей отраслей:

       (1)

или

     (2)

Многопродуктовую  модель или модель межотраслевого баланса  Леонтьева представляют также в матричной форме 

                                     (3)

где - вектор интенсивности валового продукта;

- вектор интенсивности конечного продукта;

- нормативная матрица материалоемкости (матрица коэффициентов прямых затрат) или затраты продукции -й отрасли на воспроизводство единицы продукции -й отрасли.

Если  неотрицательная квадратная матрица, то для любого положительного вектора конечного спроса уравнение (3) имеет положительное решение, равное:

где - единичная матрица размерности

Матрица называется обратной матрицей Леонтьева или матрицей коэффициентов полных затрат. Экономический смысл ее элементов заключается в следующем: коэффициент показывает потребность в валовом выпуске продукции -отрасли для производства единицы конечной продукции -отрасли.

С использованием аналитической модели (3) возможно решение  следующих задач.

1. Задача  наблюдаемости  . Эта задача отражает процесс распределения валового продукта. Она является основой для составления отчетных балансов. Входом в модель (или экзогенным фактором) здесь является вектор валового продукта Матричное представление этой модели

где - единичная матрица;

- матричный оператор преобразования вектора валовой продукции в вектор конечной продукции (прямая матрица Леонтьева).

2. Задача  синтеза  . Данная задача отражает содержание процесса планирования валовой продукции по заданному вектору конечной продукции Она отвечает на вопрос: в каком объеме надо планировать валовую продукцию отраслей , чтобы обеспечить желаемый выпуск конечной продукции Синтез уравнений связи разрешается относительно вектора валовой продукции

3. Комбинированная  задача наблюдаемости и синтеза  когда для отдельных секторов известны ограничения на объемы валовой продукции, а для остальных планируются объемы конечной продукции. В результате решения необходимо вычислить неизвестные компоненты векторов и межотраслевые поставки.

Матричное представление модели для решения данной задачи имеет вид

          (4)

где - вектор-столбец, состоящий из неизвестных компонентов вектора интенсивности валовых продуктов;

- вектор-столбец, состоящий из заданных компонентов вектора

- вектор-столбец, состоящий из  заданных компонентов вектора  интенсивностей конечных продуктов секторов;

- вектор-столбец, состоящий из неизвестных компонентов  
вектора

      - нормативные матрицы, состоящие из соответствующих элементов матрицы

Из системы  матричных уравнений (4) получены матричные представления модели, используемой для решения поставленной задачи, которые имеют следующий вид:

Примером  многопродуктовой динамической модели служит двухпродуктовая модель. Предположим, что экономика представлена двумя  отраслями народного хозяйства, каждая из которых выпускает валовую продукцию и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы  
труда.

Открытая  двухпродуктовая динамическая модель в дискретном варианте имеет вид

      (5)

где 1, 2; 1, 2 – межотраслевой обмен по прямым затратам из -й отрасли в -ю отрасль, пропорциональный объему валовой продукции  
-й отрасли;

- норма прямых затрат  -й отрасли на воспроизводство единицы продукции -й отрасли;

1, 2; 1, 2 - межотраслевой обмен по валовым инвестициям из -й отрасли в -ю отрасль, пропорциональный приросту валовой продукции -й отрасли;

- норма инвестиций  -й отрасли, обеспечивающих единичный прирост валовой продукции -й отрасли.

В непрерывном  варианте модель (5) принимает вид

  (6) 

Задавая в базисном году и предполагая известными потребление во времени и видим, что задача развития экономики, заданной двумя отраслями, сводится к системе линейных неоднородных уравнений.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод, что рассмотрение развития многоотраслевой экономики возможно на основе построения многопродуктовых динамических моделей.