Ряды Фурье и приложение рядов Фурье

Ряд Фурье — представление произвольной функции   с периодом   в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

.

где

 — амплитуда k-го гармонического колебания,

 — круговая частота гармонического колебания,

 — начальная фаза k-го колебания,

 — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье  элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд  Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач  благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Тригонометрический  ряд Фурье

Основная статья: Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим  рядом Фурье функции   называют функциональный ряд вида

(1)

(1)

где

Числа  ,   и   ( ) называются коэффициентами Фурье функции  . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию   в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты  ,   и  . Если умножить правую часть (1) на   и проинтегрировать по промежутку  , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент  . Аналогично для 

Ряд (1) сходится к функции   в пространстве  . Иными словами, если обозначить через   частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции   будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней  поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов  и косинусов экспоненты мнимого  аргумента. Мы рассматриваем пространство   комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем  систему функций

.

Как и прежде, эти функции  являются попарно ортогональными и  образуют полную систему, и, таким образом, любая функция   может быть разложена по ним в ряд Фурье:

где ряд в правой части  сходится к   по норме в  . Здесь

.

Коэффициенты :   связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения   и  не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

 

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно  обобщить со случая пространства   с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система   в гильбертовом пространстве   и   — произвольный элемент из  . Предположим, мы хотим представить   в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов  :

Домножим это выражение на  . С учётом ортогональности системы функций   все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при  :

Последовательность чисел

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента   по системе  , а ряд

называется рядом Фурье элемента   по ортогональной системе  .

Ряд Фурье любого элемента   по любой ортогональной системе сходится в пространстве  , но его сумма не обязательно равна  . Для ортонормированной системы   в сепарабельномгильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в   не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам   одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого   выполнено равенство Парсеваля

.

• линейные комбинации элементов   плотны в пространстве  .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента   равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов  . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

Сходимость  ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через   частичные суммы ряда Фурье функции  :

.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций   к функции   в различных смыслах. Функция  предполагается  -периодической (если она задана только на промежутке  , её можно периодически продолжить).

• Если  , то последовательность   сходится к функции   в смысле  . Кроме того,   являются наилучшим (в смысле расстояния в  ) приближением функции   тригонометрическим многочленом степени не выше  .
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке   — локальное свойство, то есть, если функции   и   совпадают в некоторой окрестности  , то последовательности   и  либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают.
• Если функция   дифференцируема в точке  , то её ряд Фурье в этой точке сходится к  . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции   задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке  , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к  . Это следует из того, что для непрерывной в   функции  последовательность   сходится по Чезаро к  .
• Если функция   разрывна в точке  , но имеет пределы в этой точке справа и слева  , то при некоторых дополнительных условиях   сходятся к  . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если  , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если  . Однако, существуют функции из  , ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
• Зафиксируем точку  . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве  . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье  и аналитичность функции

Существует фундаментальная  связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса  , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана-Лебега (англ.)).
• Если функция   принадлежит классу  , то есть дифференцируема   раз и её  -я производная непрерывна, то 
• Если ряд   сходится абсолютно, то   при всех  .
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем  , то ряд   сходится абсолютно (Теорема Бернштейна).
• Если  , то функция   является аналитической. Верно и обратное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Украинская  инженерно-педагогическая академия

 

 

 

 

 

 

Реферат

на  тему:

« Ряды Фурье  и приложение рядов Фурье »

 

 

                               

                                                   Выполнила:  студентка гр. ДТ-ПГ-1-1

                                                                                 Ерёменко К.

 

                                                                                Проверила:  Чеканова Н.Н.

 

 

 

 

 

Харьков 2012