Разложение функции времени в ряд Фурье

    Содержание 

1. Исходные данные                                                                                                           2

2. Разложение  функции времени в ряд Фурье                                                                 2

3. Амплитудный и фазовый спектры функции                                                                5

4. Комплексный  коэффициент передачи                                                                          6

5. Амплитудно-частотная  и фазо-частотная характеристики                                        11

6. Напряжение  на выходе при воздействии  на входе заданного сигнала                     12

7. График выходного  сигнала                                                                                            12

8. Вывод                                                                                                                               14

9. Список используемой  литературы                                                                               15 
1. Исходные данные. 

Схема:

   C1

 

            _R1

Uвх                       R2                            C2       Uвых

 

C₁ = 200 пФ

C₂ = 1 мкФ

R₁ = R₂ = 1 кОм

U_m = 2 В

Т = 20 мкс

τ = Т/4 

График входного напряжения:

Uвх 

Um 
 
 

   0                                                      t 

2. Разложение  функции времени  в ряд Фурье.

 

Любой периодический  несинусоидальный сигнал ЭДС можно  разложить на сумму постоянной слагающей  и синусоидальных слагающих (называемых гармониками). Для анализа сигнала достаточно определить токи и напряжения, вызванные каждой слагающей ЭДС в отдельности и просуммировать соответствующие величины.

Гармонический ряд в тригонометрической форме  имеет вид: 

,    где k=1,2,3…

Входное напряжение можно представить в виде функции: 

F₁(t) = U_m, при 0 < t < T/4

F₂(t) = 0, при T/4 < t < T 
 

Будем рассматривать  только те промежутки времени, на которых  функция принимает ненулевое значение. 

 

Произведем замену: 

 

1)

 

2)   

где k = 1, 3, 5… 

3)    

 

где k = 1, 3, 5… 

Функция времени  входного напряжения будет выглядеть следующим образом: 

    где k = 1, 3, 5… 

Построим график сигнала входного напряжения, используя  сумму первых 10 гармоник: 
 
 
 

 

3. Амплитудный и  фазовый спектры  функции. 

Другая форма  представления ряда Фурье:     

 

    где k = 1, 3, 5… 

 

 

     где k = 1, 3, 5… 

 
 

4. Комплексный коэффициент  передачи. 

 

Упростим схему, заменив ее эквивалентной. 

Объединим емкость  С₁ и сопротивление R₁, емкость С₃ и сопротивление R₂  

 

 

Объединим емкость  С₂ и сопротивление Z₂ 

 

Объединим сопротивления Z₁ и Z₃  

 

 

Найдем I_вх.

По первому  закону Кирхгофа:

С одной стороны, потенциалы на сопротивлениях Z₁ и Z₃ равны:

С другой стороны, по закону Ома:

С одной стороны, исходя из первого закона Кирхгофа:

С другой стороны, при параллельном соединении n сопротивлений токи в них распределяются обратно пропорционально их проводимости. Следовательно:

Поскольку  , то

Из последнего выражения следует, что

 

 
 

 

 

 
 

 

Полная форма  записи: 

 

Показательная форма записи коэффициента передачи: 

 
 
 

 

5. Амплитудно-частотная  и фазо-частотная  характеристики.

Амплитудно-частотная  характеристика – действительная часть  коэффициента передачи: 

 

Фазо-частотная  характеристика – мнимая часть коэффициента передачи: 

 

Подставим конкретные характеристики цепи и построим графики  АЧХ и ФЧХ: 

 

 

 

 

 

 
 

6. Напряжение на  выходе при воздействии  на входе заданного  сигнала. 

 

Для ω=0 определим:

 

 

7. График выходного сигнала. 

    , где k = 1, 3, 5… 

 

 

 

 

 

8. Вывод. 

    Любая периодическая функция может  быть разложена в сумму гармоник, то есть функций простой структуры. График сложной функции получается наложением графиков гармоник.

    Применение разложения в ряд Фурье, при проведении расчета прохождения сигнала через линейные электрические цепи, позволяет свести задачу анализа цепей при периодическом воздействии к задаче анализа цепей при гармоническом воздействии.

    Сигнал  можно представить в виде частотных спектров – амплитудного и фазового. Частотный подход к исследованию процессов удобен тем, что он позволяет учитывать частотные свойства цепей при прохождении сигналов. Он дает возможность исследовать переходные процессы в линейных электрических цепях.

    Передаточная  функция четырехполюсника позволяет  определить амплитудно-частотные и  фазо-частотные характеристики цепи. Эти характеристики позволяют оценить  амплитуды и фазы гармонических  составляющих выходного сигнала  в зависимости от изменения входного сигнала.

 

9. Список используемой  литературы. 

1. Г.И. Атабеков. Основы теории цепей. М. – 1969г.
2. Л.А. Бессонов. Электрические цепи. М. – 2001г.
3. Ю.Ф. Опадчий. Аналоговая и цифровая электроника. М. – 2003г.
4. И.С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы. М. – 1977г.