Сложные суждения

    Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно, только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить операцию отрицания по отношению к суждению, содержащему импликацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсутствии каких-либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему импликацию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (p —› q) = (p V q). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и наоборот.

    Обычно  в речи выражение отрицания сводится к добавлению приставки «не».  Действительно, так как указанная приставка является отрицательной, ее применение для установления противоположности вполне оправдано.

    Приведем  примеры операции отрицания. Отрицание сложного суждения, в котором нет импликации: «Я закончу работу и пойду гулять и зайду в магазин» — «Я закончу работу, но не пойду гулять и не зайду в магазин». Отрицание сложного суждения, в котором необходимо сначала изменить импликацию на конъюнкцию или дизъюнкцию, можно проиллюстрировать следующим примером: «Если я куплю машину, то поеду за город или заверну на дачу» — «Я куплю машину, но не поеду за город и не заверну на дачу». В этом примере мы для удобства опустили этап исключения импликации.

2 Установление логического значения сложных суждений при помощи таблиц истинности.

    Отношение истинности суждений отображается в  таблицах. Эти таблицы отражают все  возможные случаи истинности и ложности суждений, причем каждое из простых  суждений, входящее в состав сложного, отражается в «шапке» таблицы в виде буквы (например, p, q). Истинность или ложность отражается в виде букв «И» или «Л» (истина и ложь соответственно).

    2.1 Истинность соединительных суждений.

    Соединительное  суждение истинно при истинности всех составляющих его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного из них. Условия истинности суждения р ^ q показаны в таблице (рис. 1), где истинность обозначена И, а ложность — Л. В первых двух столбцах таблицы р и q берутся как независимые и принимают поэтому все возможные сочетания значений И и Л: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. В третьем столбце показано значение суждение р ^ q. Из четырех построчных вариантов истинным оно является лишь в 1-й строке, когда истинны оба конъюнкта: и р, и q. Во всех остальных случаях оно ложно: во 2-йи 3-й строках в силу ложности одного из членов, а в 4-й в силу ложности обоих членов. 

                                              Рисунок 1

    2.2 Истинность разделительных суждений

    Дизъюнкцию различают стогую и нестрогую. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогом виде  члены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (p) или предварительно обработать напильником (q)». Очевидно, что здесь p не исключает q и наоборот.

    Условия истинности нестрогой дизъюнкции представлены в таблице (рис. 2). Суждение р v q будет истинно при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции (1, 2, 3-я строки — ИИ, ИЛ, ЛИ). Дизъюнкция будет ложной при ложности обоих ее членов (4-я строка— ЛЛ)

     

                                              Рисунок 2

    Строгая дизъюнкция  характерна тем, что ее члены исключают друг друга (в отличие от нестрогой дизъюнкции). Суждение «Сегодня я сделаю уроки (p) или пойду гулять на улицу (q)» является примером строгой дизъюнкции. Действительно, можно совершить в данный момент только одно действие — сделать домашнюю работу либо идти гулять, оставив уроки на потом. Поэтому строгая дизъюнкция истинна, только когда истинно лишь одно из простых суждений, входящих в нее. Это единственный случай истинности строгой дизъюнкции. Таблица истинности для строгой дизъюнкции показана на рисунке 3. 

                                                  Рисунок 3

    2.3 Истинность условных суждений

    Условия истинности импликативного суждения показаны в таблице (рис. 4). Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: при истинности антецедента и ложности консеквента (2-я строка) импликация всегда будет ложной. Сочетание истинного антецедента, например «Предохранитель плавится», и ложного консеквента — «Электролампа не гаснет» — является показателем ложности импликации.

    Истинность  импликации объясняется следующим образом. В 1-й строке истинность р имплицирует истинность q, или другими словами: истинность антецедента достаточна для признания истинности консеквента., И действительно, если предохранитель плавится, то электролампа обязательно гаснет в силу их последовательного включения в электрическую цепь.

    В 3-й строке при ложном антецеденте  — «Предохранитель не плавится»  консеквент является истинным — «Электролампа гаснет». Ситуация вполне допустимая, ибо предохранитель может не плавиться, а электролампа может погаснуть в силу других причин — отсутствия тока в цепи, перегорания нити в лампе, замыкания электропроводки и т.д. Таким образом, истинность q при ложности р не опровергает идею о наличии условной зависимости между ними, поскольку при истинности р всегда будет истинным и q.

    В 4-й строке при ложном антецеденте  — «Предохранитель не плавится»  ложным является и консеквент — «Электролампа не гаснет». Такая ситуация возможна, но она не ставит под сомнение факт условной зависимости р и q, ибо при истинности р всегда будет истинным q. 

                                                  Рисунок 4

    2.4 Истинность эквивалентных суждений

    Условия истинности эквивалентного суждения представлены в таблице (рис.5). Суждение р = q истинно в тех случаях, когда оба суждения принимают одинаковые значения, являясь одновременно либо истинными (1-я строка), либо ложными (4-я строка). Это значит, что истинность р достаточна для признания истинным q, и наоборот. Отношение между ними характеризуется и как необходимое: ложность р служит показателем ложности q, а ложность q указывает на ложность р. 

                                                  Рисунок 5

    В заключение приведем сводную таблицу условий истинности сложных суждений (рис.6). 

    Рисунок 6

    3 Практические упражнения

    3.1 Установите вид следующих сложных суждений о определите их истинность при помощи таблиц истинности:

    1) Редакция вправе увеличить или  уменьшить  размер гонорара.

    Вид суждения – нестрогая дизъюнкция. Состоит из двух простых суждений «Редакция вправе увеличить размер гонорара (p)» и «Редакция вправе уменьшить размер гонорара (q)», которые не исключают друг друга.

    Таблицу истинности для нестрогой дизъюнкции изобразим на рисунке 7. 

                                              Рисунок 7

    Так как суждение p является истинным и суждение q тоже истинным,(смотрим первую строку таблицы), следовательно все суждение истинно.

    2) Банан – пищевое растение и  источник доходов для экспортирующих  стран.

    Вид суждения – конъюнкция. Состоит  из двух простых суждений « Банан – пищевое растение (p)» и «Банан – источник доходов для экспортирующих стран (q)», соединенных союзом и.

    Таблицу истинности для конъюнкции изобразим на рисунке 8.