Маркетинговый ход

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ   «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

Кафедра математики

 

 

 

 

 

 

 

ЕН. Ф. 01 МАТЕМАТИКА

Методические указания к выполнению РГР по темам:

 «Введение в математический анализ»,

«Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

 

для студентов всех специальностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа 2010

 

УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

 

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № ___от__________2010 года)

 

 

 

 

Составители: доцент, к.соц.н. Саитова Р.З.

доцент, к.физ.-мат.н. Маннанов М.М.

 

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

 

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент, к.физ.-мат.н. Лукманов Р.Л.

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам в освоении и закреплении следующих разделов математики: «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Исследование функций с помощью производной».

Расчетно-графическая работа  состоит из 6 заданий. В каждом задании 30 вариантов. Номер варианта студент выбирает по формуле: № = a · b + c, где a – номер задания, b и с – предпоследняя и последняя цифры шифра (номера зачетной книжки или студенческого билета).

Например, номер студенческого билета (зачетки) студента 1265. Тогда в первом задании этот студент выполняет вариант:  
№ = 1 · 6 + 5 = 11. Во втором задании: № = 2 · 6 + 5 = 17 и т.д. Если получается вариант больше 30, то нужно вычитать 30. Например, для этого же студента третье задание будет высчитываться: 5 · 6 + 5 = 35. Следовательно, этот студент решает 35 – 30 = 5 – пятый вариант третьего задания.

Прежде чем приступать к выполнению работы, целесообразно изучить соответствующие разделы в учебниках, рекомендованных в библиографическом списке.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

Найти указанные пределы:

1) ;  ;  b)

2) ;

3)  ;

4) 

а) При подстановке вместо переменной ее предельного значения 2 получаем

= =

б) При подстановке вместо переменной ее предельного значения -1 получается неопределенность вида .

 Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой:

 где  - корни квадратного трехчлена

.

У нас  , так как дискриминант квадратного трехчлена

 следовательно,  .

Аналогично 

Теперь условие примера можно  переписать в другом виде и продолжить решение:

b)                            

Здесь сталкиваемся с неопределенностью  , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной или предварительно числитель и знаменатель данной дроби разделить на , где n- наивысшая степень числителя и знаменателя.

Найти пределы:

2)

3)    

    В первом случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из очевидных следствий:

                           

Решение примера будет выглядеть  следующим образом:

  Во втором случае для освобождения от неопределенности будем использовать второй замечательный предел и одно из очевидных следствий:

                        

Решение примера будет выглядеть  следующим образом:

 

Вычислить:                

4)

Непосредственная подстановка  предельного значения аргумента  приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

 

Задача 2.

Найти производные  , пользуясь правилами и формулами дифференцирования. При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования  суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.

  

г) Если задана сложная функция где то есть если каждая из функций и дифференцируема по своему аргументу, то

  1)

  

  

2)               

    

3)

      

4) ;

 

 

Задача 3.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления, начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции
2. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
3. найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
4. найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;
5. найти асимптоты графика функции;
6. построить график, используя результаты предыдущих исследований;
7. для функции найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Решение.

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента то есть = , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2. Исследуем функцию на экстремум и интервалы, монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

. Решая полученные квадратное  уравнение, делаем вывод о том,  что функция имеет две критические  точки 1 рода: Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума.

 

	+	0		0	+
		max		min

 

3) Определим точки  перегиба графика функции, интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную  заданной функции и приравняем ее к нулю:

  ; .

 

Итак, функция имеет  одну критическую точку 2 рода

Разобьем область определения полученной точкой на части,  в каждой из которых установим знак второй производной:

	–	0	+
	Ç	т.п.	È

 

Значение  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие  у графика заданной функции  наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами: ; 

Таким образом, у графика  заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба и точки пересечения графика с осью

С учетом результатов  предыдущих исследований построим кривую.

 

6) Найдем наибольшее  и наименьшее значения заданной  функции на отрезке  Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

Очевидно,

                            

 

 

 

 

 

Задача 4.

 _{Исследовать следующую функцию и построить схематический график:}

                                                     

1) Область определения:

2) Исследование на  непрерывность и классификация  точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки  . Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка  является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая -вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на  экстремум и промежутки монотонности.

 

				4		10
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
		max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как  то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

 

		4
	–	не сущ.	+
	Ç		È

 

5) Исследование графика  на наличие наклонных асимптот

                         

Таким образом прямая - наклонная асимптота графика.

 

6) Построение графика.

Очевидно, график заданной функции пересекает ось  в точке (0; -5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид:

   

 

 

Задача 5.

Среди цилиндров, полная поверхность которых равна найти

цилиндр, имеющий наибольший объем.

Решение.

Пусть радиус основания  цилиндра равен  а высота равна .Тогда

 откуда  то есть объем цилиндра может быть выражен следующим образом:

.

Исследуем полученную функцию  на максимум при 

Имеем   при по условию задачи .

Так как при  выполняется условие то объем имеет наибольшее значение. При этом поэтому искомые значения радиуса основания и высоты цилиндра равны соответственно 1 и 2.