Анализ динамики производства мяса

имеет распределение Стьюдента  с числом степеней свободы ν = n − 2.

Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики превышает tкр = tα,n−2 (определяемое по таблице критических точек распределения Стьюдента),  то  необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции ρх,е, а следовательно,  и об  отсутствии  гетероскедастичности.  В противном случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. [4]

Выдвигаем нулевую гипотеза об отсутствии гетероскедастичности:

H₀:

.

Рисунок 2.5 – Расчет коэффициента корреляции .

Так как p=0.953285>0.05, следовательно коэффициент корреляции не значим и нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии гетероскедастичности.

2.2.4  Тест Парка

Р. Парк предложил критерий определения гетероскедастичности, дополняющий графический метод некоторыми формальными зависимостями. Предполагается, что дисперсия σi² = σ²(ei )  является функцией i-го  значения  хi  объясняющей переменной.  Парк  предложил следующую функциональную зависимость

Прологарифмировав, получим:

Так как дисперсии   обычно неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений  

Критерий Парка включает следующие этапы:

1. Строится уравнение  регрессии  

2. Для каждого наблюдения  определяются  

3. Строится регрессия  

                                           ln ei²  = α + βlnxi + vi ,                                 

где α = lnσ².

В  случае  множественной  регрессии  зависимость (8.5) строится

для каждой объясняющей переменной.

4. Проверяется статистическая  значимость коэффициента β уравнения 

на основе t-статистики.

Если коэффициент β  статистически значим, то это означает наличие связи между lnei² и lnxi, т. е. гетероскедастичности в статистических данных. [4]

Для каждого наблюдения определим  и построим регрессию .

Рисунок 2.6 – Оценка коэффициентов регрессии.

Так как p-level=0.428072 для коэффициента меньше 0.05, то он является статистически не значимым, следовательно гетероскедастичность отсутствует.

2.2.5 Тест Глейзера

Тест Глейзера по своей  сути аналогичен тесту Парка и  дополняет его  анализом  других (возможно,  более  подходящих)  зависимостей между  дисперсиями  отклонений  σi  и  значениями  переменной  хi.  По данному методу оценивается регрессионная зависимость модулей отклонений ei (тесно связанных с σi²) от хi. При этом рассматриваемая зависимость моделируется следующим уравнением  регрессии:

| ei |= α + βхi^k + vi .                                        (8.6)

Изменяя  значения k, можно построить различные регрессии. Обычно k = …, −1, −0.5, 0.5, 1, … Статистическая значимость коэффициента β в каждом конкретном случае фактически означает наличие гетероскедастичности.

Построим уравнение регрессии  для k=-1.

Рисунок - Уравнение регрессии  для k=-1.

Так как p -  level коэффициента b меньше 0,05, следовательно он является не значимым.

Построим уравнение регрессии  для k=-0,05.

Рисунок - Уравнение регрессии  для k=-0,05.

Так как p -  level коэффициента b меньше 0,05, следовательно он является не значимым.

Построим уравнение регрессии  для k=0,05.

Рисунок - Уравнение регрессии  для k=0,05.

Так как p -  level коэффициента b меньше 0,05, следовательно он является не значимым.

Построим уравнение регрессии  для k=1.

Рисунок - Уравнение регрессии  для k=0,05.

Так как во всех случаях  коэффициент b является не значимым, то можно сделать вывод об отсутствии гетеро седастичности.

2.2.6 Тест Голдфелда−Квандта

В  данном  случае  также  предполагается,  что  стандартное  отклонение σi = σ(εi) пропорционально  значению хi переменной Х в этом наблюдении, т. е.  у_i² = у²x_i² . Предполагается, что εi имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Тест Голдфелда−Квандта состоит в следующем:

1.  Все n наблюдений упорядочиваются по величине Х.

2.  Вся упорядоченная  выборка после этого разбивается  на три подвыборки размерностей k, (n − 2k), k соответственно.

3.  Оцениваются отдельные  регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям Х верно, то дисперсия регрессии (сумма квадратов отклонений  S по)  первой подвыборке будет существенно меньше дисперсии регрессии (суммы квадратов отклонений  оп) третьей подвыборке. 

4.  Для сравнения соответствующих  дисперсий строится следующая   F-статистика:

Здесь (k − m − 1) − число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m − количество объясняющих переменных в уравнении регрессии).

При  сделанных  предположениях  относительно  случайных  отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ν1 = ν2 = k − m − 1.

5.Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (здесь α − выбранный уровень значимости).

Для выполнения этого теста  разобьем наш временной ряд на три равных части по 16 значений. Если гетероскедастичность будет иметь место, то сумма квадратов отклонений по первой подвыборке будет существенно меньше суммы квадратов отклонений по третьей подвыборке .

Получаем S₁= 1179223631, S₃=1298587795. Рассчитываем F – критерий: . F=1,1012, Fкр= 2,4837. Так как Fр<Fкр, то нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности.

 

2.3 Проверка точности модели

И, наконец, исследуем данную модель на точность. Для этого будем  использовать среднюю относительную  ошибку по модулю:

Получаем E= 3,3757, что говорит о хорошем качестве модели, так как ошибка аппроксимации не превышает 5-7%.

 

3 Точечные и интервальные прогнозы.

3.1 Прогноз с помощью аддитивной  модели

1) Произведем прогноз  потребления мяса на последующие  12 месяцев на основе построенной  аддитивной модели. Для этого в полученную модель будем подставлять значения последующих периодов t=49, 50…60.

Построим график фактических  значений и прогнозных данных.

Рисунок – Прогнозирование  на последующие периоды.

Анализируя построенный  график можно сказать, что полученные прогнозные значения являются достаточно точными.

2) Интервальные прогнозы  построим на основе точечных  прогнозов по аддитивной модели. Для этого рассчитаем величину U(k), которая для модели линейного тренда будет иметь вид:

Где S_e – стандартная ошибка.

Получаем S_e= 4449,585,  t_a,n-1= 2,01174. Представим в виде таблицы значения U(k), а также верхнюю и нижнюю границу доверительного интервала.

Таблица 3.1– Интервальные прогнозы.

	U(k)	нижняя граница	верхняя граница	у факт
49	9328,352	237180,7726	255837,4766	247251
50	9351,6341	236867,2101	255570,4783	246685
51	9375,7862	254180,1423	272931,7147	269791
52	9400,8015	257558,0654	276359,6684	274159
53	9426,6732	258652,8717	277506,2181	268816
54	9453,3942	252591,1932	271497,9817	263884
55	9480,9574	257136,7872	276098,702	278966
56	9509,3555	264781,9525	283800,6635	282042
57	9538,5809	267639,6759	286716,8377	289766
58	9568,6261	282539,4024	301676,6547	312348
59	9599,4835	276574,1606	295773,1276	311421
60	9631,1451	293481,3019	312743,5922	335070

 

Таким образам, анализируя полученные прогнозы, можно сказать, что они являются достаточно эффективными, однако доля фактических данных, не попавших в интервал также велика.

3.2 Прогноз с помощью ряда Фурье

Произведем прогноз потребления  мяса на последующие 12 месяцев на основе модели ряда Фурье. Для этого в  полученную модель будем подставлять  значения последующих периодов t, выраженных в радианах. Получим следующие данные.

Таблица 3.3 – Прогноз с  помощью ряда Фурье.

	t	y t	t(Радианы)	y фурье
янв.09	49	247251	25,13274123	252950,7
фев.09	50	246685	25,65634	245999,3
мар.09	51	269791	26,17993878	254673,8
апр.09	52	274159	26,70353756	266507,2
май.09	53	268816	27,22713633	267298,0
июн.09	54	263884	27,75073511	263538,3
июл.09	55	278966	28,27433388	267695,0
авг.09	56	282042	28,79793266	277134,6
сен.09	57	289766	29,32153143	283940,9
окт.09	58	312348	29,84513021	290014,6
ноя.09	59	311421	30,36872898	296565,1
дек.09	60	335070	30,89232776	294673,6

Рисунок 3.3 – Прогноз производства мяса по ряду Фурье.

Анализ графика подтверждает эффективность прогноза с помощью  модели ряда Фурье.

 

3.3 Прогноз с помощью экспоненциального сглаживания.

Допустим, что a=0.25. Тогда фактор затухания будет равен (1-а)=0,75. Произведем экспоненциальное сглаживание временного ряда. Имея фактические данные на последующие 12 месяцев, сравним их с прогнозными значениями.

Результаты расчета для  всех месяцев года представлены в  таблице.

Таблица 3.2 - Экспоненциальные прогнозы производства мяса.

t	факт	прогноз
янв.09	247251	251911,5
фев.09	246685	252263,1
мар.09	269791	248953,4
апр.09	274159	264581,6
май.09	268816	271764,6
июн.09	263884	269553,2
июл.09	278966	265301,3
авг.09	282042	275549,8
сен.09	289766	280419
окт.09	312348	287429,2
ноя.09	311421	306118,3
дек.09	335070	310095,3

Представим фактические  и прогнозные данные об объемах производства мяса в виде графика.

Рисунок 3.1– Экспоненциальные прогнозы производства мяса.

Затем построим график прогноза, сделанного с помощью аддитивной модели, график прогноза, сделанного с помощью экспоненциального сглаживания и сравним их с фактическими данными.

Рисунок 3.2 – Сравнение  получившихся прогнозов с фактическими данными

Анализируя все полученные прогнозы, делаем вывод о том, что  все они являются эффективными и  достаточно точно отражают фактические  данные.

 

Заключение

В результате проведенных  исследований были выполнены установленные задачи и достигнута поставленная цель.

На первом этапе был произведен анализ временного ряда производства мяса. А именно, была построена автокорреляционная функция, исходя из которой было выяснено, что данный временной ряд содержит положительную тенденцию и сезонные колебания периодичностью 12 месяцев.