Экономико-математические методы и прикладные модели

Автор: Пользователь скрыл имя, 10 Ноября 2010 в 16:59, контрольная работа

Описание работы

Работа состоит из 4 задач с условиями и решениями по предмету экономико-математические методы и прикладные модели.

Работа содержит 1 файл

ЭММ контрольная работа.docx

— 309.42 Кб (Скачать)

Министерство  образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего  профессионального  образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

         Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

(вариант  №3) 
 
 
 
 
 
 

    Студентка      ___________________

 

    Специальность      Финансы и кредит 

    № личного  дела      ________________ 

    Образование       Первое высшее 

    Группа                    _____________________ 

                  Преподаватель ________________________

                                                                                    

                                                                                                                    
 
 
 

____________2010
 

Задача  №1 

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений  для газонов:  обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных  и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему? 

Решение:

На основании  приведенных данных составим таблицу: 

Удобрения Азотные Фосфорные Калийные Цена
Обычные 3 4 1 3
Улучшенные 2 6 3 4
Требуется 10 20 7  
 

     Построим  экономико-математическую модель задачи:

Пусть Х1 – куплено обычных наборов удобрений

Х2 – куплено улучшенных наборов удобрений 

Построим функцию  цели:

F (x) – {стоимость}            min

           min

Ограничения:

По количеству удобрения разного типа

    Азотные:

    Фосфорные:   

    Калийные:  

  Область ограничений будет лежать в I квадратной четверти.

  • неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:
 

Прямую  l1 построим по двум точкам:

X1 0 2
X2 5 2
 

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство:

   

  3 ложно

  Значит  искомая полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

  • – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:
 

Прямую l2 построим по двум точкам:

X1 3 5
X2 1,33 0
 

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство: 

 ложно

  Значит, искомая  полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

  • – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:
 

Прямую l3 построим по двум точкам:

X1 2 7
X2 1,66 0
 

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство: 

 ложно

  Значит, искомая  полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

Обозначим прямые на графике: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Областью  допустимых решений является многогранник АВСD.

   Построим  на графике линию уровня l0. Она строится по целевым функциям и имеет вид: 
 

   X1    0    1
   X2    0    -0,75
 

   Построим  вектор-градиент. Его координатами являются коэффициенты для переменных в функции цели: = (С12) = (3;4)

   Начало  вектора находится в точке (0;0). Правильность построения проверим по свойствам вектора-градиента: всегда перпендикулярен линии уровня.

     Предельная точка при минимизации:  В (2;2)

   Min f(x) =

   Ответ:  Необходимо купить два обычных и два улучшенных набора, при этом затраты будут минимальным и составят 14 денежных единиц. 

   Если  решать задачу на максимум, то целевая  функция не ограничена, область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении  оптимизации целевой функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Задача  №2.

    Для изготовления четырех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья Нормы расхода  сырья на одно изделие Запасы  сырья
 
А
Б В Г
 
I
2 1 3 2 200
II 1 2 4 8 160
III 2 4 1 1 170
Цена  изделия 5 7 3 6  

    Требуется:

    1)  Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции;

    2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности;

    3) Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане;

    4) на основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
    • определить, как изменится выручка от реализации продукции  и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;
    • оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
 
 

   Решение:

    1. Построим математическую модель прямой задачи.

   Введем  управляющие переменные:

   Х1 – количество сырья А

   Х2 – количество сырья Б

   Х3 – количество сырья В

   Х4 – количество сырья Г 

   Построим  функцию цели:

   F (x) = {выручка} = 5x1+7x2+3x3+6x4 max

   Построим  систему ограничений. Так как  расход сырья не может превышать  запаса, которым располагает предприятие, получим систему неравенств: 
 
 

    1. Решим задачу с помощью надстройки Поиск решения в среде MS Excel.

   На  листе Excel обозначим искомые переменные x1 x2 x3 и зарезервируем ячейки для их значений и оставим их пустыми.

   Обозначим целевую функцию F, введем в отдельные ячейки её коэффициенты  c1 c2 c3… а в свободную ячейку (целевая ячейка) -  формулу для вычисления значений этой функции

   Для каждого ограничения задачи заполним ячейки коэффициентов левых частей неравенств aij,      в свободные ячейки введем формулы для вычисления их значений , укажем знак неравенства и величину его правой части bi 

     
 

   Вызовем программу Поиск решения и укажем данные для расчета.

   

   Получаем:

   

   В результате решения задачи найден оптимальный  план:

   , При этом  f(x)=460.

   Таким образом максимальная выручка составит 460 денежных единиц, и будет получена при выпуске 80 единиц изделия А, и 10 единиц изделия Г. Изделия Б и В производить нецелесообразно.

    1. Для последующего экономического анализа и сформируем «отчет по устойчивости»:

Информация о работе Экономико-математические методы и прикладные модели