Экономико-математические методы и прикладные модели

 

Требуется: 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y (t) = а₀ + а₁t, параметры которой оценить

МНК (Y (t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна Y (t) = а₀ + а₁t к с параметром сглаживания ά = 0,4 и ά = 0,7; выбрать лучшее значение параметром сглаживания.

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S - критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

5.Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70 %).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически. 

     Решение:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

     Используем  метод Ирвина, основанный на определении  – статистик по формуле , где - выборочное среднее квадратичное (стандартное) отклонение признака Y.

     Подготовим  (функция СТАНДОТКЛОН). Для каждого наблюдения рассчитаем – статистики. Результаты расчетов приведем в таблице: 
 
 

 

     Аномальных  значений нет.

2. Построить линейную модель Y (t) = а₀ + a₁t параметры которой оценить МНК.

     Для построения линейной модели Y (t) = а₀ + а₁t используем программу РЕГРЕССИЯ (надстройка Анализ данных). В качестве «входного интервала X» покажем значения фактора времени t, в качестве «входного интервала Y» - значения после сглаживания.

     

     Коэффициенты  модели содержаться в третьей  таблице итогов РЕГРЕССИИ (Столбец  «Коэффициенты»). 

 

     Таким образом,

     Модель  построена, её уравнение имеет вид:

     Коэффициент регрессии  показывает, что с каждой неделей кредитные ресурсы Y увеличиваются в среднем на 2,7 млн. руб. 

     3.Построить  адаптивную модель  Брауна Y (t) = а₀ + а₁t к с параметром сглаживания ά = 0,4 и ά = 0,7; выбрать лучшее значение параметром сглаживания.

     Для проведения вычислений по формулам Брауна подготовим таблицу.

 

     Расчет  коэффициентов  и требует предварительной оценки значений для предыдущего периода. В этом качестве коэффициенты вспомогательной линейной модели Yt = а₀ + а₁t, построенной по первым пяти уровням ряда Yt.

     С помощью «анализ данных/регрессия» найдем:

 

     Занесем эти значения в нулевой уровень  соответствующих столбцов основной расчетной таблицы и перейдем к построению собственно модели Брауна согласно формулам:

     ;

     ;

     +(1-)*;

     ; 
 

1. Согласно условию задачи коэффициент  сглаживания 

.

      По  основной формуле модели Брауна, приняв t=0, k=1, рассчитаем начальное значение : 

     Теперь  перейдем к t=1 и уточним коэффициенты модели

     Ошибка  расчета ;

     +(1-)*=3,6+0,64*(-0,6)=3,252=3,2; 

     И т.д. для t=3,4,…9. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты , , определяется количеством исходных данных и равно 9.

     Результаты  вычислений приведены в основной расчетной таблице:

 

     Таким образом, модель Брауна с коэффициентом  сглаживания  построена.

2. Рассмотрим второе заданное в условии значение коэффициента сглаживания          .

     Выполним  аналогичные расчеты, заполним таблицу: 
 

 

     Таким образом, модель Брауна с коэффициентом  сглаживания  построена.

     Для выбора лучшего значения параметра  сглаживания  рассмотрим столбцы ошибок и определим для них средние квадратические отклонения (функция СТАНДОТКЛОН).

     При , найдем S(e)=8,26, при , получим S(e)=9,52.

     Сравнение показывает, что 8,26<9,52, следовательно, лучшим является параметр сглаживания (первая модель).

     4.Оценить  адекватность построенных  моделей, используя  свойства независимости  остаточной компоненты, случайности и  соответствия нормальному  закону распределения  (при использовании  R/S - критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

     Рассмотрим  построенную линейную модель:

Проверка  указанных свойств состоит в  исследовании Ряда остатков , который содержится в таблице «Вывод остатков» итогов РЕГРЕССИИ.

1. Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

Согласно  этому критерию вычислим по формуле  статистику