Контрольная работа по "Эконометрики"

Автор: Пользователь скрыл имя, 27 Сентября 2012 в 23:12, контрольная работа

Описание работы

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Работа содержит 1 файл

ЭММ-6.doc

— 585.00 Кб (Скачать)


Задача 1

Задание 1.6.

 

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации 

Финансовый консультант фирмы  «АВС» консультирует клиента  по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси-Е» и  «Дикси-В». Цены на акции: «Дикси-Е» - 5 долл. За акцию; «Дикси-В» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет  приобрести максимум 6000 акций обоих  наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем  оду составит: «Дикси-Е» - 1,1 долл.; «Дикси-В» - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в  том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

 

Пусть х1 – количество акций «Дикси-Е», а х2 –количество акций «Дикси-В», которое требуется приобрестии. Тогда функция цели будет иметь вид:

Max F(x) = 1,1*x1 + 0,9*x2

 

 

Решение:

 

Построим множество допустимых решений. Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

Построим графики линий-ограничений:



 

 

 

 

 

          В     С

 

 

 

      D

 

  

 

  А         Е

 

 

 

Пересечением указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник ABCDE. Область ограничена сверху и справа.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор градиент, соединив его вершину (1,1; 0,9) с началом координат.

Построим некоторую линию уровня, перпендикулярную вектор градиенту.

При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору градиента до выхода из ОДР, а при максимизации в направлении вектора-градиента до выхода линии уровня из ОДР. Максимумом является точка D, являющаяся пересечением прямых.

х1 + х2 =6000    и    5х1 +3х2 = 25000

Решив систему, находим:

Х1=3500, Х2 = 2500

f(x) = 3500*1,1 + 2500*0,9 = 6100

 

При решении задачи на минимум оптимальным  решением будет:

Х1 = 0, Х2 = 0, и F(x)=0

 

Задача 2

Задание 2.6

 

На основании информации, приведенной  в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Вид сырья

Нормы расхода сырья на ед. продукции

Запасы сырья

А

Б

В

I

18

15

12

360

II

6

4

8

192

III

5

3

3

180

Цена изделия

9

10

16

 

 

Требуется:

 

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оптимальный план выпуска продукции.
  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
    • определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида уменьшить на 9 кг;
    • оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида ресурсов.

 

Решение:

 

1) Обозначим объем производства продукции А - (ед.), продукции Б - (ед.), продукции В - (ед.). С учетом этих обозначений математическая модель задачи имеет вид:

 

Решим прямую задачу линейного программирования с использованием ППП MS Excel (используя Поиск решения).

Получим следующее решение

 

 

х1

х2

х3

   

План

0

8

20

   
           

Цена

9

10

16

400

 
           

I

18

15

12

360

360

II

6

4

8

192

192

III

5

3

3

84

180


 

Нулевое значение х1 объясняется тем, что на производство продукции 1-го вида требуется большое количество ресурсов при относительно невысокой цене.

2) Сформулируем двойственную  задачу:

Введем переменные У1, У2, У3, – количество ресурса i-го вида.

Целевая функция исходной задачи формулируется на минимум, при  этом все ограничения имеют вид  ≥.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений прямой задачи и аналогичная матрица Ат в двойственной получаются друг из друга транспонированием.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

Коэффициентами при неизвестных  в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены  в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задаче.

Каждому ограничению одной  задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения.

 

.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом :

 

18*0+15*8+12*20 = 360 = 360

6*0  +  4*8 + 8*20 = 192 = 192

5*0  +  3*8 + 3*20 = 84  £  180

 

Значение целевой функции на этом плане равно:

f(x) = 9*0 + 10*8 + 16*20 = 400

Третий ресурс недоиспользован на 96 единиц

Для нахождения оценок используем вторую теорему двойственности. Поскольку третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то . Т.к. и , то

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему уравнений:

т.е. y1 = 2/9, y2 = 5/3. Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

j(y) = 360*2/9 + 192*5/3 + 180*0 = 80+320 = 400.

3) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане:

1. Увеличение сырья первого вида на 1 ед. привело бы к росту максимальной общей стоимости выпускаемой продукции на 2/9, уменьшение сырья второго вида на 1 ед. привело бы к уменьшению максимальной общей стоимости выпускаемой продукции на 5/3 ед.

4) Предполагая, что эти изменения  проходят в пределах устойчивости  двойственных оценок, получаем Δf(x)=45*2/9-9*5/3 = 10-15 = -5ед.

Для нахождения нового оптимального плана решим систему уравнений:

 

Оптимальный план: х1 = 0, х2 = 14,5, х3 = 15,625

5) Рассмотрим следующую оценку:

.

Т.к. Δ4 < 0, то включение в план изделия Г целесообразно.

 

 

Задача 4

 

 

          Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Условия:

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы  финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

Номер варианта

Номер наблюдения ( t=1, 2, …,9)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

12

15

16

19

17

20

24

25

28


 

          Требуется:

1.Проверить наличие аномальных наблюдений.

2.Построить линейную модель Ý(t) = a0+ a1t, параметры которой оценить МНК (Ý(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3.Построить адаптивную модель Брауна Ý(t) = a0+ a1k с параметром сглаживания α=0,4 и  α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания (для специальности 060400).

4.Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5.Оценить точность моделей  на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6.По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).

7.Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

                 

 

 

t

Y(t)

Yрегр

         
 

1

12

12,2

         
 

2

15

14,0

         
 

3

16

15,9

         
 

4

19

17,7

         
 

5

17

19,6

         
 

6

20

21,4

         
 

7

24

23,3

         
 

8

25

25,1

         
 

9

28

27,0

         
                 

 

 

Проверим наличие аномальных наблюдений

     
 

t

Y(t)

(Y-Yср)

E(t)2

λ

     
 

1

12

-7,56

57,09

       
 

2

15

-4,56

20,75

0,574

     
 

3

16

-3,56

12,64

0,191

     
 

4

19

-0,56

0,31

0,574

     
 

5

17

-2,56

6,53

0,383

     
 

6

20

0,44

0,20

0,574

     
 

7

24

4,44

19,75

0,766

     
 

8

25

5,44

29,64

0,191

     
 

9

28

8,44

71,31

0,574

     

Сумма

45

176,0

 

218,22

       

Среднее

5

19,6

           
 

 

 

           
                 

Вычислим

   

=

5,22

     
             
                 
 

 

 

           

Вычислим

             
                 

Согласно критерию Ирвина аномальным считается значение, для  которого λ>1,5

   

Т.к. таких значений нет, то аномальных наблюдений нет

     

 

 
               
 

 

 

 

 

 

 

Построим линейную модель

         
 

t

Y(t)

(t-tср)

(Y-Yср)

(t-tср)х (t-tср)

(t-tср)х (Y-Yср)

(Y-Yср)2

 
 

1

12

-4

-7,56

16

30,22

57,09

 
 

2

15

-3

-4,56

9

13,67

20,75

 
 

3

16

-2

-3,56

4

7,11

12,64

 
 

4

19

-1

-0,56

1

0,56

0,31

 
 

5

17

0

-2,56

0

0,00

6,53

 
 

6

20

1

0,44

1

0,44

0,20

 
 

7

24

2

4,44

4

8,89

19,75

 
 

8

25

3

5,44

9

16,33

29,64

 
 

9

28

4

8,44

16

33,78

71,31

 
                 

Сумма

45

176,0

   

60

111,00

218,22

 

Среднее

5

19,6

           

Определим параметры  линейной модели

         

 


               
                 
       

=

1,85

     
                 
 

             

 

 

   

=

10,31

       
 

Yрегр=10,31+1,85*t

         
                 
 

Построим адаптивную модель Брауна с а=0,4 и а=0,7

     
 

Найдем начальные приближения  а0 и а1 по первым 3-м точкам

   
                 
 

t

Y(t)

(t-tср)

(Y-Yср)

(t-tср)х (t-tср)

(t-tср)х (Y-Yср)

(Y-Yср)2

 
 

1

12

-1

-2,333

1

2,333

5,444

 
 

2

15

0

0,667

0

0,000

0,444

 
 

3

16

1

1,667

1

1,667

2,778

 

Сумма

6

43

   

2

4,000

8,667

 

Среднее

2

14,333

           

Определим параметры  линейной модели

         

 

               
     

=

2,00

       
                 

 

 

=

10,33

         
                 

Выбирая в качестве начальных а0 и а1 значения а0 и а1 полученной линейной модели получим значения модели Брауна по формулам

   
   
           

 

         
           
           

 

         
           

 

         
           
           

   
   

а=

0,4

         

Время

Факт

а0

а1

Расчет 0,4

E(t)

     
   

10,33

2,00

         

1

12

12,12

1,95

12,33

-0,33

     

2

15

14,66

2,10

14,07

0,93

     

3

16

16,27

1,97

16,76

-0,76

     

4

19

18,73

2,09

18,25

0,75

     

5

17

18,38

1,48

20,82

-3,82

     

6

20

19,95

1,51

19,86

0,14

     

7

24

23,08

1,91

21,45

2,55

     

8

25

25,00

1,91

25,00

0,00

     

9

28

27,61

2,09

26,91

1,09

     

10

     

29,70

       

11

     

31,78

       
                 
   

а=

0,7

         

Время

Факт

а0

а1

Расчет 0,7

E(t)

     
   

10,33

2,00

         

1

12

12,03

1,84

12,33

-0,33

     

2

15

14,90

2,39

13,87

1,13

     

3

16

16,12

1,76

17,29

-1,29

     

4

19

18,90

2,31

17,88

1,12

     

5

17

17,38

0,25

21,21

-4,21

     

6

20

19,79

1,41

17,63

2,37

     

7

24

23,75

2,78

21,20

2,80

     

8

25

25,14

2,03

26,53

-1,53

     

9

28

27,93

2,44

27,17

0,83

     

10

     

30,36

       

11

     

32,80

       
                 

 

Построим графики:

           

 

               

 

               
                 

 

               
                 

Оценим адекватность построенных моделей на основе исследования

     

а) случайной остаточной компоненты по критерию пиков

     
                 
 

Линейная модель

Время

Факт

Yрегр

е1

e1^2

Точ. пов.

Et-Et-1

(Et-Et-1)^2

|e(t)|/Yрегр|

1

12

12,2

-0,2

0,0

     

1,3

2

15

14,0

1,0

1,0

1

1,2

1,32

7,1

3

16

15,9

0,1

0,0

1

-0,9

0,72

0,9

4

19

17,7

1,3

1,7

1

1,2

1,32

7,3

5

17

19,6

-2,6

6,5

1

-3,9

14,82

13,1

6

20

21,4

-1,4

2,0

0

1,2

1,32

6,6

7

24

23,3

0,7

0,6

1

2,2

4,62

3,2

8

25

25,1

-0,1

0,0

1

-0,8

0,72

0,4

9

28

27,0

1,0

1,1

 

1,2

1,32

3,9

Сумма

     

12,9

6

 

26,18

42,5

                 

Информация о работе Контрольная работа по "Эконометрики"