Контрольная работа по "Экономико-математическим методам"

     Экономико-математические методы

     Вариант №40

     δ = 542 

Задание 1. Производственные функции  

1.1. Дайте  понятия производственной функции  и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?  

     Пусть для производства некоторого продукта в количестве y единиц используются различные ресурсы: , ,...,выраженные в соответствующих единицах. Если принята закономерность получения продукта y из ресурсов =(, ,...,)т.е. если в явном виде выражена зависимость y=f(, то такая функция f(, называется производственной.

     Пусть зафиксировано некоторое число . Множество в n-мерном

пространстве, определяемое равенством Q={:f(=}

называется  изоквантой функции f( уровня

     Из  самого определения изокванты следует, что если Q, ∈Q, то ресурсы и обеспечивают производство одного и того же количества продукта , т. е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать увеличением других. 

1.2. Производственная функция для райпо имеет вид f(X1,X2)=10, где f – товарооборот (млн руб.); – производственная площадь (тыс. );

 – численность работников (сотни чел.).

Рассмотрите изокванту уровня =и найдите на ней точку C1с координатами , , где =

и точку  С2 с координатами , , где =. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов , ,) и , )

 Полученные  результаты изобразите графически.  

Решение: 

     Из  дано число δ = 542. Тогда уравнение изокванты:

     10=, (

     Возведя обе части в квадрат и разделив их на 100, получим: 

       Найдем координаты точки C1 (рис. 2). 
 
 
 
 

      x2  
 

                                  C2

     2,42                          

       

      1,45                                                      C1 

     

                                                                                            x1       

     0                         2,65                   4,42    
 
 

Рис. 2. Изокванта  

     Так как =, то из уравнения изокванты находим. Аналогично находим координаты точки C2. Так как

Итак, 145 работников райпо, используя 4,42 тыс. м² производст-венной площади, обеспечат товарооборот млн руб., и такой же товарооборот могут обеспечить 242 работника райпо, используя площадь 2,42 тыс. м². 
 

Задание 2. Функция покупательского  спроса  

2.1. Дайте  понятия малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми?  

     Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эла-стичности сводится к следующему:

     если , то i-й товар называется малоэластичным;

     если, то i-й товар называется среднеэластичным;

     если, то i-й товар называется высокоэластичным.

Если  увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодопол-няемыми.

2.2. Произведите  классификацию товаров по следующей  таблице эластичностей: 

 
 

Пусть δ = 543. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

 
 

     Так как, то 1-й товар малоэластичный;

     так как, то 2-й товар среднеэластичный;

     Так как, то товар малоэластичный;

     Так как, то  товар малоэластичный;

     так как, то 3-й товар высокоэластичный.

     Поскольку то 1-й и 3-й товары взаимозаменяемые.

     Поскольку

то товары взаимозаменяемые.

Задание 3. Межотраслевой  баланс  

3.1. Дайте  определение коэффициентов прямых  затрат. Где они мо-гут быть использованы?  

Отношение называется коэффициентом прямых затрат, означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

Модель  межотраслевого баланса может использоваться в пла-нировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными. 

3.2. За  отчетный период имел место  следующий баланс продукции: 

=++

=++                      =300

=

==220

=

=

а) вычислите  коэффициенты прямых затрат;

б) вычислите плановый объем валовой продукции отраслей при плане выпуска конечной продукции: при условии неизменности технологии производства.

Решение: 

=208

=158

=308

=258+158+300=716

=208+308+220=736

а. Вычислим коэффициенты прямых затрат:

===0,36

===0,290

===0,214

===0,418

б. Вычислим плановый объем валовой продукции отраслей: 

0,64

=+

=546,875+0,334

-0,290(546,875+0,334)+0,582=250

0,582-0,096=250+158,59

=840,72

=546,875+0,334

     Таким образом,=827,67 – плановый объем валовой продукции первой отрасли;

– плановый объем валовой  продукции второй отрасли. 

Задание 4. Системы массового  обслуживания  

4.1. Дайте  описание входящего потока требований  и каналов обслуживания. Какие  экономические показатели характеризуют  работу СМО?  

     К системам массового обслуживания относятся  магазины, рес-тораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные

телефонные  станции и многие другие объекты.

     Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями  соседних требований есть случайная  величина X с показательным законом распределения, т. е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:

     F(t)=1-

     Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью вхо-дящего потока, она показывает, сколько в среднем требований по-ступает в единицу времени.

     Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслу-живаются в порядке поступления.

     Для обслуживания примем предположения  о том, что все n ка-налов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показа-тельному закону, т. е. ее интегральная функция имеет вид:

     F(t)=1-, t

     Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью об-служивания, она показывает, сколько требований обслуживается в единицу времени.

     Обозначим α =(α – параметр загрузки СМО) и предполо-жим, что выполняется условие стационарности  

α λ (8)

Условие (8) означает, что интенсивность входящего  потока меньше, чем суммарная интенсивность  обслуживания. 

4.2. В  магазине самообслуживания работают  две кассы с интенсив-ностью μ=(δ=300)/100 треб./мин. каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 треб./мин. Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину оче-реди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ= (700-δ)/10 треб./мин., то будет ли выполнено условие ста-ционарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?  

Решение: 

     Пусть δ=542. Тогда μ=8,43 треб./мин., а первоначальное значение λ равно 9,42 треб./мин.