Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Автор: Пользователь скрыл имя, 26 Января 2011 в 23:37, контрольная работа

Описание работы

Задание 1. Сформулировать исходную оптимизационную задачу оптимального использования трудовых ресурсов на максимум общей стоимости выпускаемой продукции и решить ее графическим методом.
Задание 2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план на основе первой и второй теорем двойственности линейного программирования.

Работа содержит 1 файл

контрольная эмм.doc

— 574.00 Кб (Скачать)
 

     Задача 1

     В таблице 5 приведены данные о наличии трудовых ресурсов на предприятии по каждому из типов ресурсов (в нормо-часах), о трудоемкости изготовления единицы продукции каждого вида с разбивкой по типам трудовых ресурсов (в нормо-часах на единицу продукции), а также о цене единицы продукции каждого вида (в условных единицах).

Тип трудовых ресурсов Трудоемкость  единицы продукции (н.-ч/ед. прод.) Наличие трудовых ресурсов (н.-ч)
А Б
1 1 2 18
2 1 1 30
3 1 3 40
Цена  ед. продукции (у. е.) 12 7  
 

     Задание 1. Сформулировать исходную оптимизационную задачу оптимального использования трудовых ресурсов на максимум общей стоимости выпускаемой продукции и решить ее графическим методом. 

Наличие трудовых ресурсов 1, 2 и 3 равно 18, 30 и 40 н.-часов соответственно.

Пусть Х1 - Кол-во единиц продукции А.

Пусть Х2 - Кол-во единиц продукции Б. 

Трудовой  ресурс 1 используется следующим образом: 1*X1+2*X2 £ 18

Трудовой  ресурс 2 используется следующим образом: 1*X1+1*X2 £ 30

Трудовой  ресурс 3 используется следующим образом: 1*X1+3*X2 £ 40 

     Каков максимум общей стоимости выпускаемой  продукции, если общая стоимость  выпускаемой продукции равна: 12*X1+7*X2. 

     Получим целевую функцию и систему  ограничений: 

      max f(x) = 12X+ 7X2

      X + 2X2   £ 18

      X1  + X2  £ 30

      X +  3X2 £ 40

      X1,2 ³ 0 

     Запишем уравнения ограничивающих линий 

      X + 2X2  = 18

      X1  + X2  = 30

      X +  3X2 = 40

      X1 = 0

      X2 = 0 

     Решим задачу графическим способом.

     Построим  в первом квадранте граничные  прямые, определим область допустимых значений. Построим из начала координат вектор до точки (12, 7). Будем перемещать вдоль вектора линию, перпендикулярную вектору до последней точки пересечения с ОДЗ в обе стороны. Эти точки и будут оптимальным планом.

     Для задачи поиска максимума получили  значения

Х1 = 18, Х2 = 0, max f(X) = 12*18 + 7*0 = 216. 

     Задание 2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план на основе первой и второй теорем двойственности линейного программирования. 

     Исходная  оптимизационная задача:

    max f(x) = 12X+ 7X2

    X + 2X2   £ 18

    X1  + X2  £ 30

    X +  3X2 £ 40

    X1,2 ³ 0 

     В этой модели функциональные ограничения  отражают условия ограниченности объемов  используемых трудовых ресурсов.

     Проверим, как удовлетворяется система  функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (X1 = 18, X2 = 0):

    18  + 2*0  = 18

    18 + 0 = 18  < 30   (*)

    18  +  3*0  = 18 < 40

     Значение  целевой функции f(x) = 12*18 + 7*0 = 216

     Сформулируем  двойственную задачу

    min j(Y) = 18Y+ 30Y + 40Y3

    Y + Y+ Y3 ³ 12

    2Y +  Y+ 3Y3 ³ 7

    Y1,2,3 ³ 0 

      Для нахождения оценок Y1, Y2, Y3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и третье ограничение в (*) выполняются как строгое неравенство, то Y2 = Y3 = 0.  Так как Х1 > 0, то:

Y + Y+ Y3 = 12

      Итак  для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

Y2* = 0

Y2* = 0

Y1* +  Y2*  +   Y3*  -  12 = 0 

т. е. Y1* = 12,      Y2* = 0,    Y3* = 0.

      Значение  целевой функции двойственной задачи:

      j(Y) = 18*12 + 30*0 +  40*0 = 216

      т. е. f(X) = j(Y) = 2165

      По  первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных. 

 

Задача 2

     В таблице приведены фактические  годовые данные по производительности труда в цементной промышленности, отражающие выработку натурального цемента (в десятках тонн) в расчете на одного работающего.

     

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y1

135 134 137 134 138 140 141 143 140 141
 
 
 
 

      Задание 1. Сгладить временной ряд методом простой скользящей средней, взяв длину интервала сглаживания m = 3; результаты сглаживания отразить на графике. 

     Традиционным  методом прогнозирования будущего значения спроса является усреднение его прошлых значений. Формально скользящее среднее y~1 определяется как             

      

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y1

135 134 137 134 138 140 141 143 140 141

Y1~

  135,33 135 136,33 137,33 139,67 141,33 141,33 141,33  
 

      Задание 2. Определить наличие тренда, взяв табличные значения статистик Стьюдента и Фишера (для уровня значимости 0,05) ta = 2,23; Fa = 3,07; другие необходимые табличные данные приведены в табл. 4.5 на стр. 153 учебника. 

      1) Разобьем исходный ряд на две  равные части:

t

1 2 3 4 5

Y1

135 134 137 134 138
 
 
 

t

6 7 8 9 10

Y2

140 141 143 140 141
 
 
 

      Вычислим  средние значения и дисперсии:

 

      Так как  , то F =  

      Так как F = 2,2 < Fa = 3,07, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

      Определим расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

      

      

      Так как t = 5,511 > ta =2,23, то гипотеза об отсутствии тренда не принимается, т. е. тренд существует. 

      Задание 3. Построить линейную трендовую модель, определив ее параметры методом наименьших квадратов. 

     Пусть    ,  тогда для составления системы линейных уравнений используем метод наименьших квадратов.

     Где    

     Тогда получают систему:

     

     n – количество элементов выборки, равно 10.

     

     

     

     

     Получим  систему:

     

                  

      

 

      Получим Y = 0,903 × t + 133,333 

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 135 134 137 134 138 140 141 143 140 141
Y* 134,24 135,14 136,04 136,95 137,85 138,75 139,65 140,56 141,46 142,36
e 0,764 -1,139 0,958 -2,945 0,152 1,249 1,346 2,443 -1,46 -1,363

Информация о работе Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"