Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

      Задание 4. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

      а) близости математического ожидания остаточной последовательности (ряда остатков) нулю; критическое значение статистики Стьюдента взять таким же, как и в задании 2; 

      Проверка  равенства математического ожидания остаточной последовательности (ряда остатков) нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей гипотезы Но:|e|=0. С этой целью строится t-статистика

      

      где   -  среднее арифметическое значений уровней ряда остатков.

      

       - среднеквадратичное отклонение. 

      Тогда получим:        _.

      Так как  , то нулевая гипотеза принимается с заданным уровнем вероятности, т. е. математическое ожидание остаточной последовательности (ряда остатков) равно нулю.

 

      б) случайности отклонений ряда остатков по критерию пиков (поворотных точек); расчеты выполнить на основе соотношения (5.9) на стр. 200 учебника; 

      

     На  графике определяем, что существует 5 пиков, т. е. Р = 5.

      Рассчитаем 

      

      Т. о.  ряд остатков можно считать  случайным. 

      в) независимости (отсутствия автокорреляции) уровней ряда остатков по критерию Дарбина — Уотсона (см. формулу (5.12) на стр. 203 учебника); в качестве критических используйте уровни d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36; если критерий Дарбина — Уотсона не даст ответа, используйте расчеты первого коэффициента автокорреляции для ряда остатков {e }, приняв в качестве критического уровня          r = 0,36;

 

 

      

      Так как   2 < d < 4,   то d’ = 4 – d = 4 – 2,034 = 1,966, а так как d₂< d’ < 2, то есть 1,36 < 1,966 < 2, то можно сделать вывод, что ряд остатков не коррелирован.

      Воспользуемся проверкой по первому коэффициенту автокорреляции для ряда остатков {e }.

      Т. к. r₁ < r_KP = 0,36, то есть 0,066 < 0,36, то можно сделать вывод, что ряд остатков не коррелирован. 

      г) нормальному закону распределения  ряда остатков на основе RS-критерия (см. стр. 202 учебника), взяв в качестве критического интервал от 2,7 до 3,7. 

      Соответствие  ряда остатков нормальному закону распределения  проверим с помощью RS-критерия:

      

      Т. к. расчетное значение попадает между  табулированными границами критического интервала от 2,7 до 3,7, то с заданным уровнем вероятности гипотеза о нормальности распределения ряда остатков принимается. 

     Задание 5. Оценить точность модели на основе показателей среднего квадратического отклонения от линии тренда (формула (5.17) на стр. 210 учебника, принять k = 1) и средней относительной ошибки аппроксимации (формула (5.14) на стр. 204 учебника). 

      В качестве статистических показателей  точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или среднеквадратическое отклонение от линии тренда –

      

      где m — число параметров модели, и среднюю относительную ошибку аппроксимации -

      

 

      Ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. В общем случае допустимый уровень точности, а значит и надежности устанавливает пользователь модели, который в результате содержательного анализа проблемы выясняет, насколько она чувствительна к точности решения и насколько велики потери из-за неточного решения. 

     Задание 6. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (t_a = 2,23;); результаты моделирования и прогнозирования отразить на графике. 

      Если  в ходе проверки разрабатываемая  модель признана достаточно надежной, на ее основе разрабатывается точечный прогноз. Он получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения к: t = п + k.

      Так, в нашем случае экстраполяция  вперед имеет вид: 

      Y₁₁ = 133,333 + 0,903*11 = 143,266

      Y₁₂ = 133,333 + 0,903*12 = 144,169 

      Для учета случайных колебаний при  прогнозировании рассчитываются доверительные интервалы, зависящие от стандартной ошибки, горизонта прогнозирования k, длины временного ряда п и уровня значимости прогноза а. В частности, для прогноза будущие значения Y вероятностью (1 - а) попадут в интервал

      

 

     Задание 7. Сравнить результаты прогнозирования с фактическими данными на период упреждения, взяв эти данные из временного ряда последующего варианта (два последних уровня); для варианта 10 эти значения принять равными 140 и 142; указать, попадают или нет эти фактические данные в доверительный интервал прогноза.   

     Фактические значения 140 и 142 попадают в соответствующие доверительные интервалы [138,78;  147,752] и [139,758;  148,58]. 
 
 
 
 

Задача 3

      Для трехотраслевой экономической системы  заданы первой и второй квадранты схемы межотраслевого материального баланса и затраты труда в отраслях в некоторых условных единицах измерения:

Задание 1

      Рассчитать  объемы валовой продукции отраслей (формула (6.2) на стр. 237 учебника), матрицу  А коэффициентов прямых материальных затрат (формула (6.4) на стр. 238 учебника) и матрицу В коэффициентов  полных материальных затрат (формула  (6.16) на стр. 244 учебника).  

     Пусть Х = (Х₁ Х₂, Х₃) - вектор валовой продукции (соответствующих отраслей).

     Пусть Y = (Y₁, Y₂, Y₃) - вектор конечной продукции (соответствующих отраслей).

     Пусть Х_ij - матрица производственных затрат отраслей. 

      Рассчитаем  объемы валовой продукции отраслей (формула (6.2) на стр. 237 учебника)

      

 

      Рассчитаем  матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат (формула (6.4) на стр. 238 учебника)

      

                  

                  

                  

      Получим: 

 

      Рассчитаем  матрицу В коэффициентов полных материальных затрат (формула (6.16) на стр. 244 учебника).

      

 

     Вычислим  определитель этой матрицы: 

      Транспонируем матрицу (Е-А): 

      Находим алгебраические дополнения для элементов  матрицы (Е-А)’, т. о. матрица, присоединенная к (Е-А) имеет вид:

 

      Получим: 

      

 

      Задание 2. 

      Найти коэффициенты прямой трудоемкости (формула (6.17) на стр. 249 учебника) и коэффициенты полной трудоемкости (формула (6.20) на стр. 250 учебника) отраслей.

     Пусть Х = (Х₁ Х₂, Х₃) - вектор валовой продукции (соответствующих отраслей).

     Пусть L = (L₁, L₂, L₃) - вектор затрат труда (соответствующих отраслей).

     Пусть Х_ij - матрица производственных затрат отраслей (соответствующих производящих отраслей i в потребляющих отраслях j). 

     Для расчета коэффициентов прямой трудоемкости используем формулу:

      t_j = L_j / X_j

      Тогда получим:

      t₁ = L₁ / X₁ = 1100 / 780 = 1,41

      t₂ = L₂ / X₂ = 500 / 500 = 1,0

      t₃ = L₃ / X₃ = 900 / 800 = 1,125

      Т. о. матрица t имеет вид:

     Рассчитаем  матрицу T коэффициентов полной трудоемкости:

T = t B 

      Получим:

 
 

      Задание 3. 

      Составим  схему межотраслевого баланса затрат труда (см. табл. 6.3 на стр. 252 учебника). 

      Умножая первую, вторую и третью строки первого  и второго квадрантов межотраслевого материального баланса на соответствующие  коэффициенты прямой трудоемкости  

      

.