Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

8у₂ + у₃ = 6      *(-2)

    у₂ + 2у₃ = 5

-16у₂ - 2у₃ = -12

-15у₂ = -7

у₂ =

у₃ =

у = (0; ; )

g(у) = 200*0 + 160* + 170* = 460

max g(у) = min ¦(х) = 460

Следовательно, у = (0; ; ) – оптимальный план двойственной задачи.

 

3. Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане.

x₂ = 0

x₃ = 0

Т.е. продукцию вида Б и В выпускать не следует, т.к. их выпуск не приведет к максимальной выручке от реализации готовой продукции.

 

 

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Оценим использование ресурсов:

I типа: 2*80 + 1*0 + 3*0 + 2*10 = 180 < 200 – сырье I типа используется не полностью, остаток составляет 20 ед.; х₅ = 20

II типа: 1*80 + 2*0 + 4*0 + 8*10 = 160 = 160 – сырье II типа используется полностью; х₆ = 0

III типа: 2*80 + 4*0 + 1*0 + 1*10 = 170 = 170 – сырье III типа используется полностью; х₇ = 0

х = (80, 0, 0, 10, 20, 0, 0)

 

Т.к. у₁ = 0, то ресурс I типа используется не полностью.

Т.к. у₂ > 0 и у₃ > 0, то ресурсы II и III типов используются полностью. При чем ресурс III типа является более ценным, более дефицитным, чем ресурс II типа, т.к. у₃ > у₂.

 

Определим, как изменится выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа

Δb₁ = 8

Δb₂ = 10

Δb₃ = -5

Δ¦(х) = ∑y_i Δb_i

Δ¦(х) =

Значит, выручка от реализации продукции уменьшится на денежных единиц и составит ден. ед.

 

Изменение плана выпуска продукции ΔХ находим следующим образом:

ΔХ = Д * ΔВ

Матрица А^* состоит из столбцов матрицы А (канонической формы), которые соответствуют основным переменным.

х = (80, 0, 0, 10, 20, 0, 0)

	2	1	3	2	1	0	0
А =	1	2	4	8	0	1	0
	2	4	1	1	0	0	1

	2	2	1
А* =	1	8	0
	2	1	0

 

Определитель матрицы А^* равен:

|А^*| = 0 + 0 + 1 – (16 + 0 + 0) = -15

Транспонируем матрицу А^*:

	2	1	2
(А*)’ =	2	8	1
	1	0	0

 

Находим элементы присоединенной матрицы (Ã^*):

Получили присоединенную матрицу:

	0	1	-8
(Ã*) =	0	-2	1
	-15	2	14

 

Δх₁ =            х₁^* = 80 =

Δх₄ =            х₄^* = 10 + =

Δх₅ =              х₅^* = 20 + =

Х^* = ( ; 0; 0; ; ; 0; 0)

¦(Х^*) = 5* + 7*0 + 3*0 + 6* =

Δ¦(Х^*) = 5* + 6* =

Таким образом, при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида выпуск продукции вида А уменьшится на ед., вида Г – увеличится на ед. Остаток сырья I вида увеличится на ед.

 

Определим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

С₅ = 10

а₁₅ = 2;   а₂₅ = 2;   а₃₅ = 2

Δ_j = ∑а_ijy_j – c_j       

Δ₅ = а₁₅y₁ – а₂₅y₂ – а₃₅y₃ – c₅

Δ₅ =

Δ₅ < 0, следовательно изделие вида Д выпускать выгодно.

Так как затраты на ресурсы при выпуске одного данного  изделия вида Д будут меньше цены изделия вида Д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	3	7	10	11	15	17	21	25	23

 

 

 

Требуется:

1. Проверить наличие  аномальных наблюдений.

2. Построить линейную  модель Y(t) = а₀ + а₁t, параметры которой оценить МНК.

3. Построить адаптивную модель Брауна Y(t) = a₀ +a₁k с параметром сглаживания а = 0,4 и а = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

 

 

Решение:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для изобразим на графике  фактические уровни.

Рис.2. Фактические уровни спроса в течение девяти последовательных недель

 

Резко отличающихся отдельных  значений нет, следовательно аномальных наблюдений в данном временном ряду нет.

 

2. Построим линейную трендовую модель ŷ = а₀ + а₁t, определив ее параметры с помощью метода наименьших квадратов.

Для этого решим систему нормальных уравнений:

na₀ + а₁ åt = åy_t

a₀ åt + a₁ åt² = åty_t

Составим расчетную  таблицу:

 

 

 

 

t	yt	t2	tyt	ŷt	Еt	m	Еt2	(Еt - Еt-1)2		(t - )2
1	3	1	3	3,9	-0,9	-	0,81	-	0,3000	16
2	7	4	14	6,6	0,4	0	0,16	1,69	0,0571	9
3	10	9	30	9,3	0,7	1	0,49	0,09	0,0700	4
4	11	16	44	12,0	-1,0	1	1,00	2,89	0,0909	1
5	15	25	75	14,7	0,3	1	0,09	1,69	0,0200	0
6	17	36	102	17,4	-0,4	1	0,16	0,49	0,0235	1
7	21	49	147	20,1	0,9	0	0,81	1,69	0,0429	4
8	25	64	200	22,8	2,2	1	4,84	1,69	0,0880	9
9	23	81	207	25,5	-2,5	-	6,25	22,09	0,1087	16
45	132	285	822	132,3	-0,3	5	14,61	32,32	0,8011	60
5	14,7

 

9а₀ + 45 а₁ = 132                 *(-5)

45 а₀ + 285 а₁ = 822              

-45 а₀ – 225 а₁ = -660

  45 а₀ + 285 а₁ = 822

               60 а₁ = 162

                    а₁ = 2,7

Уравнение линейного тренда имеет вид: ŷ = 2,7 + 1,2 t

 

4. Оценим адекватность построенной модели.

а) Проверим случайность значений остатков по критерию пиков (поворотных точек):

m – количество поворотных точек;

[ … ] – целая часть  числа.

Уровень E_t считается поворотной точкой, если он меньше (или больше) двух рядом с ним стоящих уровней.

График остатков имеет  вид:

Рис.3. График остатков

 

Получили пять поворотных точек, т.е. m = 5.

m > 2 Þ свойство выполняется; значения остатков случайные.

 

б) Проверим независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона (критические уровни: d₁ = 0,82 и d₂ = 1,32):

d_расч. > 2  Þ рассчитываем d’ = 4 - d_расч. = 4 – 2,21 = 1,79

d₂ < d’ < 2  Þ свойство выполняется; остатки независимы, автокорреляция отсутствует.

 

в) Проверим нормальность распределения остатков по R/S-критерию (критические уровни: 2,7 – 3,7):

E_max = 2,2;   E_min = -2,5

Т.к. значение R/S-критерия попадает в интервал 2,7 – 3,7, то свойство выполняется; остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения. 

Таким образом, последовательностью остатков выполняются все свойства по выбранным критериям, следовательно, можно сделать вывод о том, что модель

 ŷ = 2,7 + 1,2 t является адекватной.

 

5. Оценим точность построенной трендовой модели.

Для оценки точности модели найдем среднее квадратическое отклонение от линии тренда S_ŷ и среднюю относительную ошибку аппроксимации S:

где р – количество параметров модели, р = 2.

Т.е. в среднем расчетные  значения по линейному тренду отличаются от фактических уровней на 8,9%.

Т.к. S > 5%, то модель является не точной.

 

6. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели.