Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

ŷ = 1,2 + 2,7 t

Точечный прогноз:

ŷ(10) = 1,2 + 2,7*10 = 28,2 (млн. руб.)

ŷ(11) = 1,2 + 2,7*11 = 30,9 (млн. руб.)

Интервальный прогноз:

ŷ_n+k = t_α * S_{прогноз.}

t_α = 1,05

k – период упреждения;

t_α * S_{прогноз.} – ширина доверительного интервала;

S_{прогноз.} – средняя квадратическая ошибка прогноза.

t_n+k = n + k

1 шаг     k = 1

t_n+k = 9 + 1 = 10

28,2 ± 1,05 * 1,786

(26,3 – 30,1) – интервальный прогноз на один шаг.

2 шаг     k = 2

t_n+k = 9 + 2 = 11

30,9 ± 1,05 * 1,890

(28,9 – 32,9) – интервальный прогноз на второй шаг.

 

7. Результаты моделирования и прогнозирования представим на графике.

Рис.4. Динамика спроса и  прогноз на две надели вперед

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Построим адаптивную модель Брауна ŷ = а₀ + а₁k с параметром сглаживания а = 0,4 и а = 0,7.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при  помощи метода наименьших квадратов.

t	yt	t -	(t - )2	(yt - )	(t - ) (yt - )
1	3	-2	4	-6,2	12,4
2	7	-1	2	-2,2	2,2
3	10	0	0	0,8	0,0
4	11	1	2	1,8	1,8
5	15	2	4	5,8	11,6
15	46	0	10	0,0	28,0

 

        

                 

где β = 1 – α   – коэффициент дисконтирования.

Возьмем k = 1 и α = 0,4, следовательно, β = 1 – 0,4 = 0,6.

Подробно покажем расчет на первых двух шагах, остальное представим в таблице.

t = 1    

t = 2    

и т.д.

t	yt	a0	a1	yt расч	Et	Et2	m	(Et-Et-1)2		(t - )2
0	-	0,8	2,8	-	-	-	-	-	-	-
1	3	3,2	2,7	3,6	-0,6	0,36	-	-	0,2000	16
2	7	6,6	2,9	5,9	1,1	1,17	1	2,82	0,1543	9
3	10	9,8	3,0	9,5	0,5	0,26	0	0,32	0,0512	4
4	11	11,6	2,7	12,8	-1,8	3,15	1	5,23	0,1613	1
5	15	14,8	2,8	14,3	0,7	0,47	1	6,06	0,0458	0
6	17	17,2	2,7	17,5	-0,5	0,29	1	1,50	0,0316	1
7	21	20,6	2,9	19,9	1,1	1,23	0	2,71	0,0528	4
8	25	24,5	3,1	23,5	1,5	2,32	1	0,17	0,0609	9
9	23	24,6	2,4	27,6	-4,6	20,90	-	37,14	0,1988	16
45	132	-	-	134,6	-2,6	30,14	5	55,95	0,9566	60,0

 

На последнем шаге получена модель: Y_р(N+k) = 24,6 + 2,4 k.

Среднее квадратическое отклонение равно:

Построим адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания α = 0,7, т.е. β = 1 – 0,7 = 0,3.

t = 1    

t = 2    

t = 3    

t = 4    

t = 5    

t = 6    

t = 7    

t = 8    

t = 9    

 

t	yt	a0	a1	yt расч	Et	Et2
0	-	0,8	2,8	-	-	-
1	3	3,1	2,5	3,6	-0,6	0,36
2	7	6,9	3,2	5,6	1,4	2,07
3	10	10,0	3,2	10,1	-0,1	0,01
4	11	11,2	2,1	13,2	-2,2	4,75
5	15	14,8	2,9	13,3	1,7	2,89
6	17	17,1	2,6	17,8	-0,8	0,61
7	21	20,9	3,2	19,6	1,4	1,90
8	25	24,9	3,7	24,1	0,9	0,80
9	23	23,5	0,9	28,6	-5,6	31,20
45	-	-	-	135,8	-3,8	44,59

 

На последнем шаге получена модель: Y_р(N+k) = 23,5 + 0,9 k.

Среднее квадратическое отклонение равно:

Т.к. S_ŷ(1) < S_ŷ(2), то точнее первая модель Y_р(N+k) = 24,6 + 2,4 k с параметром сглаживания α = 0,4.

Оценим качество первой модели Y_р(N+k) = 24,6 + 2,4 k.

 

4. Оценим адекватность построенной модели.

а) Проверим случайность  значений остатков по критерию пиков (поворотных точек).

График остатков имеет  вид:

Рис.5. График остатков

 

Получили пять поворотных точек, т.е. m = 5.

m > 2 Þ свойство выполняется; значения остатков случайные.

 

б) Проверим независимость  уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона (критические уровни: d₁ = 0,82 и d₂ = 1,32):

d₂ < d_расч < 2  Þ свойство выполняется; остатки независимы, автокорреляция отсутствует.

 

в) Проверим нормальность распределения остатков по R/S-критерию (критические уровни: 2,7 – 3,7):

E_max = 1,5;   E_min = -4,6

Т.к. значение R/S-критерия попадает в интервал 2,7 – 3,7, то свойство выполняется; остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения. 

Таким образом, последовательностью остатков выполняются все свойства по выбранным критериям, следовательно, модель Y_р(N+k) = 24,6 + 2,4 k является адекватной.

 

5. Оценим точность построенной модели.

Для оценки точности модели найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации S:

Т.к. S > 5%, то модель не является точной.

 

6. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели.

Y_р(N+k) = 24,6 + 2,4 k

Точечный прогноз:

ŷ(9+1) = 24,6 + 2,4*1 = 27,0

ŷ(9+2) = 24,6 + 2,4*2 = 29,4

Интервальный прогноз:

t_α = 1,05

1 шаг     k = 1

t_n+k = 9 + 1 = 10

27,0 ± 1,05 * 2,565

(24,3 – 29,7) – интервальный прогноз на один шаг.

2 шаг     k = 2

t_n+k = 9 + 2 = 11

29,4 ± 1,05 * 2,714

(26,6 – 32,3) – интервальный прогноз на второй шаг.

 

7. Результаты моделирования и прогнозирования представим на графике.

Рис.6. Динамика спроса и прогноз на две надели вперед