Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Для отражения временных параметров событий на сетевом графике применяется  четырехсекторный способ фиксации параметров. Круг (рис.7), обозначающий событие, разбивается  на четыре сектора.

 

 

 

 

        R(j)   

 

                     L(j)     j          E(j) 

                                             

           i₁,i₂,...      

 

Рис.7

В центре круга записывается номер  события (j). В левом секторе - наиболее поздний срок наступления события L(j), в правом - наиболее ранний срок наступления события E(j), в верхнем - резерв времени свершения события R(j), в нижнем - номера предшествующих событий, через которые к данному идет путь максимальной продолжительности.

Порядок расчета.

1. Рассчитываются наиболее ранние сроки наступления событий. Полученные величины записываются в правый сектор соответствующих событий, а в нижний - номера предшествующих событий, через которые к данному событию идет путь максимальной продолжительности. Количество таких номеров соответствует количеству предшествующих событий, лежащих на путях максимальной продолжительности.
2. Рассчитываются наиболее поздние сроки наступления событий, эти величины записываются в левый сектор.
3. Рассчитываются резервы времени событий, эти величины записываются в верхний сектор.

Для определения критического пути необходимо продвигаться от конечного  события к начальному событию по номерам событий, записанных в нижнем секторе. Работы, которые встречаются в процессе продвижения, выделяют жирными (двойными) стрелками.

Значения всех трех резервов времени для любой работы соотносятся между собой следующим образом:

полный резерв свободный резерв независимый резерв

8. Коэффициент напряженности  работы. Анализ и оптимизация сетевого графика

Прежде чем использовать сетевой график как основной инструмент управления ходом работ, необходимо провести его анализ и оптимизацию. Анализ и оптимизация сетевого графика в системах СПУ, в которых объектом планирования и контроля являются сроки выполнения работ (а именно такие графики мы и рассматриваем), в основном сводится к сокращению продолжительности критического пути.

Анализ сетевого графика выполняется  с целью, во-первых, проверки правильности оценки времени критических работ и работ, имеющих минимальные резервы времени; во-вторых, сравнения установленного срока выполнения комплекса работ со сроком, полученным в результате расчета временных параметров сетевого графика. Главная цель анализа сети с временной оценкой работ состоит в определении наиболее целесообразных способов достижения оптимальных сроков выполнения комплекса работ.

Основное внимание в сетевом  графике необходимо обращать на критические  работы. Увеличение или уменьшение продолжительности критических работ, а, следовательно, и критического пути может привести к изменению срока завершения комплекса работ в целом. Для выполнения запланированного комплекса работ в заданный срок необходимо не только увязать этот срок с рассчитанным по сетевому графику (в случае, когда заданный срок оказался меньше расчетного, т.е. меньше  ), с отпущенными материальными и трудовыми ресурсами, но и так организовать выполнение работ, чтобы составленный с помощью сетевого графика план стал реальностью.

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по формуле:

 , 

где  - продолжительность максимального пути, проходящего через работу ; - продолжительность (длина) критического пути; - продолжительность отрезка рассматриваемого (максимального пути, проходящего через работу ) пути, совпадающего с критическим путем; - полный резерв времени работы

Коэффициент напряженности  может изменяться в пределах от 0 (для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие с критическим путем, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности) до 1 (для работ критического пути). Чем ближе к 1 коэффициент напряженности, тем сложнее выполнить данную работу в установленные сроки. Чем ближе коэффициент напряженности к 0, тем большим относительным резервом обладает максимальный путь, проходящий через данную работу.

На основе коэффициента напряженности  все работы сетевого графика могут  быть разделены на три группы:

• критические (напряженные) (
• подкритические (
• резервные (

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить  общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.

Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Оптимизация проводится с целью сокращения длины критического пути, выравнивания коэффициентов напряженности работ, рационального использования ресурсов.

В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается:

• перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических; при этом перераспределение ресурсов должно идти, как правило, из зон, менее напряженных, в зоны, объединяющие наиболее напряженные работы;
• сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени;
• параллельным выполнением работ критического пути;
• пересмотром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.

В процессе сокращения продолжительности  работ критический путь может  измениться, и в дальнейшем процесс оптимизации будет направлен на сокращение продолжительности работ нового критического пути и так будет продолжаться до получения удовлетворительного результата. В идеале длина любого из полных путей может стать равной длине критического пути или по крайней мере пути критической зоны. Тогда все работы будут вестись с равным напряжением, а срок завершения проекта существенно сократится.

 

 

 

ЗАДАЧА 2.

Для рис. 8 определить  характеристики СПУ:

1) ранние и поздние сроки совершения  событий;

2)  резервы времени событий;

3)  критический  путь и его  длину, пояснить смысл найденной  величины (длина критического пути);

4) для некритических  работ  найти полные, свободные и независимые  резервы  времени;

5) для некритических  работ  найти коэффициенты напряженности и пояснить за счет каких работ возможна оптимизация сетевой модели.

 

 

                                                    1                  

                                        3                                                 7

               6

                                  5                                        8

                                                        3                            4                

                      6              4                                 9                               9

            1             2                          5                              10                                 11 

                                   3

                                           6                                   3                       5             

                                4                         7            9

                                                                 0

                                              4              

                                                         6            

Рис. 8

Решение.

1. Рассчитаем наиболее ранние и наиболее поздние сроки свершения событий.

 

Наиболее ранние сроки:

                        E(1) = 0.

            E(2) = E(1) + t(1,2) = 0 + 6 = 6.

             E(3) = E(2) + t(2,3) = 6 + 5 = 11.

E(4) = E(2) + t(2,4) = 6 + 3 = 9.

E(5) = max[E(2)+t(2,5), E(4)+t(4,5)] = max[6+4, 9+6]=15.

E(6) = E(4) + t(4,6) = 9 + 4 = 13.

E(7) = E(3) + t(3,7) = 11 + 1 = 12.

E(8) = E(5) + t(5,8) = 15 + 3 = 18.

E(9) = E(4) + t(4,9) = 9 + 7 = 16.

                        E(10)=max[E(5)+t(5,10),E(7)+t(7,10),E(8)+t(8,10), E(9)+t(9,10)]=max[15+9,12+6,18+4, 16+3]=24.

E(11) = max[E(6)+t(6,11), E(10)+t(10,11)]=max[13+5, 24+9]=33.

Проект, таким образом, не может завершиться раньше чем  через 33 единицы времени.

 

 

 

Наиболее поздние сроки:

                       L(11) = E(11) = 33

L(10) =L(11) - t(10,11) = 33 - 9 = 24.

L(9) = L(10) - t(9,10) = 24 - 3 = 21.

L(8) = L(10) - t(8,10) = 24 - 4 = 20.

L(7) = L(10) - t(7,10) = 24 - 6 = 18.

L(6) = min[L(9)-t(6,9),L(11) - t(6,11) = min[21-0,33-5] = 21.

L(5) = min[L(8)-t(5,8), L(10)-t(5,10)]=min[20-3, 24-9]=15.

L(4) = min[L(5)-t(4,5),L(6)-t(4,6),L(9)-t(4,9)]=min[15-6,21-4,21-7]=9.

L(3) = L(7) - t(3,7) = 18 - 1 = 17.

L(2) = min[L(3)-t(2,3),L(4)-t(2,4),L(5)-t(2,5)]=min[17-5,9-3,15-4]=6.

L(1) = L(2) - t(1,2) = 6 - 6 = 0.

Таким образом, чтобы закончить  проект к моменту времени 33, необходимо начать его в момент времени 0.

2. Рассчитаем резервы времени событий.

R(1)=0.

R(2)=0.

R(3)=6.

R(4)=0.

R(5)=0.

R(6)=8.

R(7)=6.

R(8)=2.

R(9)=5.

R(10)=0.

R(11)=0.

 

 

 

3. Найдем критический путь: на рис. 8 он выделен жирными стрелками.

.

Проект, таким образом, не может завершиться раньше чем через 33 единицы времени.

4. Найдем полные, свободные и независимые резервы  времени.

Полный резерв времени работы: L(j) - E(i) - t(i,j).

 

Свободный резерв времени работы: E(j) - E(i) - t(i,j).

Независимый резерв времени работы: E(j) - L(i) - t(i,j).

Для остальных работ полный, свободный  и независимый резервы времени  представлены в табл. 1.

 

 

 

Табл.1

(i,j)	t(i,j)	Полный     резерв	Свободный     резерв	Независимый        резерв	Коэффициент напряженности
(1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,7) (4,5) (4.6) (4,9) (5,8) (5,10) (6,9) (6,11) (7,10) (8,10) (9,10) (10,11)	6   5   3   4   1   6   4   7   3   9   0   5   6   4   3   9	0 6 0 5 6 0 7 5 2 0 - 15 6 2 5 0	0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 - 15 6 2 5 0	0 0 0 5 -6 0 0 0 0 0 - 7 0 0 0 0	1            0,67            1            0,44            0,67            1            0,47            0,67            0,78             -            -            0,38            0,67            0,78            0,67            1