Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Задача №1

 

    Имеется два  вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамина) , и . Содержание числа единиц питательных веществ в 1кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум  питательных веществ	Число единиц питательных  веществ в 1кг корме
		I	II
	9	3	1
	8	1	2
	12	1	6

  

    Стоимость  1кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

    Необходимо  составить дневной рацион, имеющий  минимальную стоимость, в котором  содержание питательных веществ  каждого вида было не менее  установленного предела.

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

 

    1. Обозначим через:

         – масса используемого корма вида I, кг.;

         – масса используемого корма вида II, кг.

и запишем экономико-математическую модель задачи по критерию: «минимум затрат на дневной рацион».

         f(x) = 4 + 6 (min)

        

    2. Решим ЗЛП графически.

    I.   3 + ≥ 9

          3 + = 9

	0	3
	9	0

   

    Контрольная точка (4;0): 3∙4 + 1∙0 = 12 > 9

    II.    + 2 ≥ 8

            + 2 = 8

	0	8
	4	0

   

    Контрольная точка (9;0): 1∙9 + 2∙0 = 9 > 8

    III.    + 6 ≥ 12

            + 6 = 12

	0	12
	2	0

   

    Контрольная  точка (13;0): 1∙13 + 6∙0 = 13 > 12

 

    Строим линию  уровня:

         4 + 6 = a, пусть а = 12.

         4 + 6 = 12

	0	3
	2	0

   

    Отложим вектор-градиент Ñ(4, 6) в направлении которого функция цели возрастает.

Рис. 1.1 Решение ЗЛП  графически

Функция цели достигает минимума в точке B.

    Определим ее координаты. 

        

         ,  т. В(2;3)

         = f(2;3) = 4∙2 + 6∙3 = 26

    Таким образом,  минимальная стоимость дневного рациона составит 26 ден. ед. При этом требуется 2кг корма вида I и 3кг корма вида II.

    При решении  задачи на максимум функция  цели не ограничена и поэтому затраты на дневной рацион будут расти по мере увеличения массы используемых кормов.

    Приведем решение  ЗЛП с помощью MS  Excel в среде Widows.

Рис 1.2 Рабочий лист Excel с приведенными данными.

Рис 1.3 Диалоговое окно Поиск  решения и оптимальное

решение задачи на минимум.

 

Задача №2

 

    На основании  информации, приведенной в таблице,  решается задача оптимального  использования ресурсов на максимум  выручки от реализации готовой  продукции.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на ед. продукции			Запасы сырья
	I	II	III
I	1	2	1	430
II	3	0	2	460
III	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5

 

    Требуется:

    1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации  готовой продукции, получить оптимальный план выпуска.

    2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

    3. Пояснить  нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

    4. На основе  свойств двойственных оценок  и теорем двойственности:

         а) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

         б) определить, как изменятся выручка о реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II – уменьшить на 5 единиц;

         в) определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

 

 

 

Решение:

 

    1. Обозначим через  объем выпуска продукции j-го вида и запишем экономико-математическую модель задачи по критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции».

         f(x) = 3 + 2 + 5 (max)

        

    Решим задачу симплекс  методом.

    Приведем ЗЛП к каноническому  виду.

         f(x) = 3 + 2 + 5 (max)

        

    Дальнейшее  решение приводим в симплекс-таблицах (табл. 2.1).

                                                                                                   Таблица 2.1

№	Базис		План	3	2	5	0	0	0	Q
0		0	430	1	2	1	1	0	0	430
		0	460	3	0	2	0	1	0	230min
		0	420	1	4	0	0	0	1	–
	–	–	0	-3	-2	-5	0	0	0

 

 

                                                                                                   Таблица 2.1

1		0	200	-	2	0	1	-	0	100min
		5	230		0	1	0		0	–
		0	420	1	4	0	0	0	1	105
	–	–	1150		-2	0	0		0	–
2		2	100	-	1	0		-	0
		5	230		0	1	0		0
		0	220	2	0	0	-2	1	1
	–	–	1350	4	0	0	1	2	0	–

 

    Поскольку  все  ≥ 0 ( ), то полученный является оптимальным.

         = 1350 при Х = ( = 0; = 100; = 230).

    Приведем решение прямой ЗЛП с помощью MS  Excel в среде Widows.

Рис 2.1 Рабочий лист Excel с приведенными данными.

Рис 2.2   Диалоговое окно Поиск решения и

оптимальное решение задачи.

 

    2. Сформулируем  двойственную задачу.

    Запишем расширенную  матрицу прямой ЗЛП.

        

    Транспонируем эту матрицу.

        

    Двойственная задача  имеет вид:

         z(y) = 430 + 460 + 420 (min)

        

    Для нахождения оценок  , , используем вторую теорему двойственности.

    Проверим, как  удовлетворяется система функциональных  ограничений  оптимальным планом: Х = ( = 0; = 100; = 230).

            (*)

    Т.к. третье ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то

= 0, а т.к.  > 0 и > 0, то имеем систему уравнений:

        

        

         (1;2;0) = 430∙1 + 460∙2 + 420∙0 = 1350

    = = 1350, т.е. согласно первой теореме двойственности действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

    Приведем решение  двойственной ЗЛП с помощью MS  Excel в среде Widows.

Рис 2.3 Рабочий лист Excel с приведенными данными.

Рис 2.4  Диалоговое окно Поиск решения

и оптимальное решение задачи.

 

    3. Нулевое значение говорит о том, что выпускать продукцию вида I в данных производственных условиях невыгодно.

 

    4. а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

    При увеличении запасов сырья вида I на 1 ед. выручка увеличится на

1 у.е. ( = 1), а увеличение запасов сырья вида III не повлияет на оптимальный план и объем выручки.

    Недефицитным ресурсом является сырье вида III ( = 0). Острее ощущается дефицитность сырья вида II ( = 2) – оно более дефицитно, чем сырье вида I ( = 1).

    Относительная заменяемость ресурсов 1:2.

    б) Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

        

    Отсюда план  выпуска продукции в новых  производственных условиях:

Х = ( = 0; = 103,75; = 227,5).

    Выручка составит:

         f(0; 103,75; 227,5) = 3∙0 + 2∙103,75 + 5∙227,5 = 1345 у.е., т.е. уменьшится на 5 у.е.

    в) Определим целесообразность включения в план изделия четвертого вида.

         1∙2 + 2∙4 + 0∙3 – 7 = 3 > 0 – невыгодно.