Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №3

 

    Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки (i = 1, 2, 3; j = 1, 2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

Предприятия	Коэффициенты прямых затрат,			Конечный продукт, Y
	1	2	3
1	0,0	0,4	0,1	160
2	0,4	0,1	0,0	180
3	0,3	0,0	0,1	150

 

Требуется:

    1. Проверить  продуктивность технологической матрицы А = ( ) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

    2. Построить  баланс (заполнить таблицу) производства  и распределения продукции предприятий  холдинга.

 

Решение:

 

    1. Матрица А  продуктивна, т.к. она имеет  неотрицательные элементы и при любом j сумма элементов столбца .

    2. Определим матрицу коэффициентов полных затрат.

        

         (Е – А) = –  =

         = 0,639

        

         = 0,81

         = 0,36

         = 0,09

         = 0,36

         = 0,87

         = 0,04

         = 0,27

         = 0,12

         = 0,74

         =    

    Определим  матрицу валового выпуска.

         Х = ∙Y =  ∙ =

    Определим  межотраслевые поставки.

         = ∙ (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).

         0,0∙325,4 = 0

         0,4∙344,6 = 137,84

         0,1∙275,1 = 27,51

         0,4∙325,4 = 130,16

         0,1∙344,6 = 34,46

         0,0∙275,1 = 0

         0,3∙325,4 = 97,62

         0,1∙344,6 = 0

         0,1∙275,1 = 27,51

        

         325,4 – (0 + 130,16 + 97,62) = 97,62

         344,6 – (137,84 + 34,46 + 0) = 172,30

         275,1 – (27,51 + 0 + 27,51) = 220,08

 

 

                                                                                                   Таблица 3.1

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечная продукция	Валовая продукция
	I	II	III
I	0,00	137,84	27,51	160	325,4
II	130,16	34,46	0,00	180	344,6
III	97,62	0,00	27,51	150	275,1
Условно-чистая продукция	97,62	172,30	220,08	490	–
Валовая продукция	325,4	344,6	275,1	–	945,1

 

    Проведем расчет  с применением пакета прикладных  программ обработки электронных  таблиц MS  Excel в среде Widows.

Рис. 3.1 Рабочий лист Excel.

 

Рис. 3.2 Межотраслевой баланс производства и

распределения продукции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №4

 

    В течение  девяти последовательных недель  фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой  компании. Временной ряд Y(t)  этого показателя приведен ниже:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	8	13	15	19	25	27	33	35	40

 

Требуется:

    1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

    2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК.

    3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

    4. Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

    5. Оценить точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки  аппроксимации.

    6. По двум  построенным моделям осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р =70%).

    7. Фактические  значения показателя, результаты  моделирования и прогнозирования  представить графически.

    Основные промежуточные  результаты вычислений представить  в таблицах.

 

Решение:

    1. Проверим наличие аномальных наблюдений, используя критерий Ирвина.

         ,

    где 

    Проведем расчет  с применением пакета прикладных  программ обработки электронных  таблиц MS  Excel в среде Widows.

Рис. 4.1 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

Рис. 4.2 Оценка адекватности и точности трендовой модели.

         = 1,5 при n = 9

    Т.к. все  < , то аномальных наблюдений нет.

    2. Построим линейную модель.

         , где

        

    Согласно рис. 4.2 имеем:

       

    Отсюда уравнение  имеет вид:

        

 

    3. Построим  адаптивную модель Брауна.

    Определим  начальные параметры  и по первым пяти значениям.

    Рис. 4.3 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

    Рис. 4.4 Результаты оценки начальных параметров адаптивной модели Брауна.

    Согласно рис. 4.4 имеем:

       

        

        

         а) при α = 0,4.

    Проведем расчет  с применением пакета прикладных  программ обработки электронных  таблиц MS  Excel в среде Widows.

Рис. 4.5 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

Рис. 4.6 Оценка адекватности и точности адаптивной модели Брауна

при α = 0,4.

         б) при α = 0,7.

Рис. 4.7 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

Рис. 4.8 Оценка адекватности и точности адаптивной модели Брауна

при α = 0,7.

    В качестве  лучшего параметра сглаживания  выберем  α = 0,4, т.к. при этом  параметре модель имеет наименьшее  значение остаточной дисперсии.

 

    4. Оценим адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону.

         а) линейная модель.

         р = 6

         q =

         q =         

    Так как p > q, то условие случайности уровней ряда остатков выполняется.

         d =

         d = 3,23

         = 4 – d = 4 – 3,23 = 0,77    

         = 1,08                         = 1,36

   Так как 0,77 < 1,08, то свойство независимости уровней ряда остатков не выполняется.

         R/S =

        

         0,92

         R/S = 2,31

         = 2,7               = 3,7

    Так как  2,31 < 2,7, то уровни ряда остатков распределены по закону отличному от нормального.

    Таким образом,  модель не адекватна.

         б) адаптивная модель Брауна  при α = 0,4.

         р = 6

    Так как p > q, то условие случайности уровней ряда остатков выполняется.

         d = 3,28

         = 4 – d = 4 – 3,28 = 0,72   

         = 1,08                         = 1,36

    Так как  0,72 < 1,08, то свойство независимости уровней ряда остатков не выполняется.

         1,41

         R/S = 2,72

         = 2,7               = 3,7

    Так как  2,7 < 2,72 < 3,7, то уровни ряда остатков распределены по нормальному закону.

    Таким образом,  модель не адекватна.

 

    5. Оценим точность  модели с помощью средней относительной  ошибки аппроксимации.

        

         а) линейная модель.

         3,67%

    Точность модели  хорошая.

         б) адаптивная модель Брауна  при α = 0,4.

         5,15%

    Точность модели  удовлетворительная.

 

    5. Построим прогноз на 2 недели вперед.

         а) линейная модель.

    Согласно рис. 4.2 имеем:

         – точечный прогноз.

         = 43,72 млн. руб.

         47,69 млн. руб.

         – интервальный прогноз.

        

        

         t(0,3; 7) = 1,12

        

         0,99

         1,37 млн. руб.

         1,45 млн. руб.

         млн. руб.

         млн. руб.

         б) адаптивная модель Брауна при α = 0,4.

         = 43,79 млн. руб.

         47,77 млн. руб.

         – интервальный прогноз.

         1,51

         2,08 млн. руб.

         2,20 млн. руб.

         млн. руб.

         млн. руб.

    7. Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.  

         а) линейная модель.

         б) адаптивная модель Брауна при α = 0,4.