Корреляционно-регрессионные модели

  Что касается измерения тесноты связи  при криволинейной форме зависимости, то здесь используется не линейный коэффициент корреляции, а корреляционное отношение: [8, с.49]

                                                                                                        (17)

3. Выбор и решение уравнения регрессии.

  Выбор конкретного уравнения регрессии, адекватно описывающего форму связи, является довольно сложной процедурой. В условиях использования ПЭВМ выбор адекватной модели осуществляется перебором решений, наиболее часто применяемых в анализе парной корреляции уравнений регрессии. Если форму связи сразу установить сложно, решают уравнения нескольких типов.

  Соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, т.к. при этом могут возникать неоправданно большие ошибки. В таких случаях используют нелинейную регрессию.

  Наиболее  часто встречаются следующие  виды уравнений нелинейной регрессии: полиномиальное , гиперболическое , степенное

  Например, если исследуемый экономический  показатель y состоит из двух частей – постоянной (независящей от х) и переменной (уменьшающейся с ростом х), то зависимость y от х можно представить в виде гиперболы: . Если же показатель y отражает экономический показатель, который под влиянием фактора х происходит с постоянным ускорением или замедлением, то применяются полиномы.

  В ряде случаев для описания экономических процессов используются более сложные функции. Например, если процесс вначале ускоренно развивается, а затем, после достижения некоторого уровня, затухает и приближается к некоторому пределу, то могут использоваться логистические функции типа .

  В некоторых случаях нелинейность связей является следствием неоднородности совокупности, к которой применяют  регрессионный анализ. Например, объединение  в одной совокупности предприятий  различной специализации. В таком случае нелинейность может являться следствием механического объединения разнородных единиц. Регрессионный анализ таких совокупностей не может быть эффективным. Поэтому любая нелинейность связей должна анализироваться критически.

Множественная корреляция.

  Экономические явления чаще всего адекватно  описываются многофакторными моделями. В связи с этим часто возникает  задача исследования зависимости одной  переменной от нескольких переменных.

  Множественная корреляция – связь между несколькими факторами и одним результативным показателем.

  Корреляционную  зависимость между несколькими  признаками называют множественной  регрессией. При этом она представлена в виде многофакторных моделей (уравнений  множественной регрессии): [3, с.31]

  линейных: ;

  При уравнение превращается в обычное уравнение парной регрессии.

  степенных: ;

  логарифмических:

  Приведенные модели удобны тем, что их параметрами  можно дать экономическое объяснение.

  В линейной модели коэффициенты при неизвестных являются коэффициентами регрессии и показывают, на сколько единиц изменится функция с изменением определенного фактора на одну единицу при неизменном значении остальных аргументов.

  Коэффициенты  при неизвестных в степенных и логарифмических моделях являются коэффициентами эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменится функция с изменением аргумента (фактора) на 1% при фиксированном значении остальных аргументов.

  Многофакторный  корреляционный анализ состоит из нескольких этапов: [12, с.123]

1. определение факторов, которые оказывают воздействие на изучаемый показатель и отбор наиболее существенных для корреляционного анализа;

  Отбор факторов для корреляционного анализа  является очень важным моментом. От того, насколько правильно сделан отбор факторов, зависит точность выводов по итогам анализа.

  Отбор факторов, включаемых в корреляционно-регрессионную модель, осуществляется в несколько приемов:

• логический отбор факторов в соответствии с экономическим содержанием;
• отбор существенных факторов на основе оценки их значимости по t-критерию Стьюдента либо F-критерию Фишера;
• последовательный отсев незначимых факторов при построении модели.

2. сбор и оценка исходной информации, необходимой для корреляционного анализа;

3. изучение характера и моделирование связи между факторами и результативным показателем, т.е. подбор уравнения, которое наиболее точно выражает сущность исследуемой зависимости;
4. расчет основных показателей связи корреляционного анализа;
5. статистическая оценка результатов корреляционного анализа и практическое их применение.

  Рассмотрим  простейший случай, когда по существу изучаемого явления можно считать с достаточно большой вероятностью, что между имеется линейная зависимость, которую можно представить уравнением:

                                                                                                       (18)

  В этом случае нужно решить следующие  задачи: [9, с.81-87]

• найти коэффициенты так, чтобы функция наилучшим образом отражала важнейшие свойства изучаемого явления;
• выразить в виде числа меру или тесноту зависимости между значениями признаков ;
• выразить в виде числа меру или тесноту связи между Z и X при фиксированном Y, между Z и Y при фиксированном X.

  Коэффициенты  находят с помощью метода наименьших квадратов:

                                                                  (19)

  Для этого необходимо найти частные  производные по аргументам :

                                                                            (20)

                                                                            (21)

                                                                              (22)

  Приравнивая частные производные данной функции  к нулю и перегруппировав слагаемые, приходим к системе из трех уравнений  с тремя неизвестными:

                                                                          (23)

  На  основе коэффициентов регрессии нельзя сказать, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак, т.к. коэффициенты регрессии между собой несопоставимыми, т.е. имеют разные единицы измерения.

  Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, т.е. рассчитывают стандартизированные коэффициенты ( -коэффициенты) и коэффициенты эластичности. [5, с.480-481]

                                                           ,                                                  (24)

где - среднее квадратическое отклонение i-го фактора:

      - среднее квадратическое отклонение показателя.

                                                           ,                                                    (25)

где - коэффициент регрессии при i-м факторе;

      - среднее значение изучаемого показателя.

   -коэффициент показывает, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения.

  Коэффициент эластичности показывает, на сколько  процентов в среднем изменяется анализируемый показатель с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном  положении других факторов

  Мера  или теснота связи значений признака Z со значениями признаков X, Y оценивается по формуле:

                                                 ,                                        (26)

где R – полный коэффициент корреляции (в отличие от коэффициентов ), всегда положительный и принимает значения на множестве [0,1]. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции.

  Теснота связи между Z, X (при фиксированном Y) оценивается частным выборочным коэффициентом корреляции:

                                                                                             (27)

  Теснота связи между Z, Y (при фиксированном X) – таким же коэффициентом:

                                                                                       (28)

  Свойства  аналогичны свойствам выборочного коэффициента корреляции.

  Если  коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить  из модели.

  Уравнения множественной регрессии должны зачастую учитывать и качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т.д.). Чтобы ввести такие факторы в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные количественные значения, т.е. в виде фиктивных переменных. Например, включать в модель фактор “пол” в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

  Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как изменение  зависимости при переходе от одной  категории к другой при неизменности значений остальных параметров. На основе t-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной и существенности расхождения между качественными признаками.

  F-распределение Фишера служит для оценки уравнения регрессии в целом.

                                                      ,                                               (29)

где m – число параметров в уравнении регрессии;

       n – число наблюдений.

  Расчетные значения сравнивают с табличными.

  Статистическая  значимость, надежность связи, выраженной частными коэффициентами корреляции, проверяется по t-критерию Стьюдента путем сравнения расчетного значения с табличным по заданной степени точности. Обычно в практике степень точности берется 5%, что соответствует вероятности p=0,05.

  Так, например, для двух факторов и зависимости  вида имеем:

                                                                             (30)

                                                                             (31)

  Наиболее  сложным этапом, завершающим корреляционно-регрессионный  анализ, является интерпретация полученных результатов, т.е. перевод их с языка  статистики и математики на язык экономики.

1.3Оценка достоверности уравнения.