Математические методы в экономике

     ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

     ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИАНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

     НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО 

     Экономический факультет 
 

Контрольная работа. Математические методы в экономике.

Вариант № 9. 
 
 

     Выполнил  студент 
заочного отделения 
7МФ – 12 группы 
экономического факультета 
Сусленникова Дарья 
 

     Преподаватель: 
Мамаева Зинаида Михайловна 
 

      

Нижний  Новгород, 2011 год 

   Задание №1

1. Построить модель парной регрессии, определяющую зависимость между объемом выпуска продукции Y (в тыс. р.) и затратами труда X (в чел./днях);
2. Оценить качество построенной модели;
3. Построить точечный и интервальный прогноз для X = Х_0.

Таблица №1 – Данные об объеме выпуска продукции  и затратах труда.

   Решение.

   1. Построение модели

   Предположим, что между исследуемыми показателями существует линейная зависимость:

     Y = α + β X + ε.

   Оценим  параметры этой модели на основе метода наименьших квадратов. Уравнение оценочной  модели: Ŷ = a + b X  . Построим вспомогательную таблицу для расчета параметров и характеристик модели.

Таблица №2 – Вспомогательная  таблица для расчета  параметров и характеристик  модели.

Запишем систему  нормальных уравнений и найдем ее решение.

     
 
 
 

   В результате получили следующее уравнение  модели: Ŷ = 40,93-1,04 X

   Рисунок 1 – Зависимость объема выпуска  продукции от затрат труда (маркер) и уравнение модели (прямая).

   2. Оценка качества  построенной модели

   a) Проверка статистической значимости параметров модели

   Так как модель построена на основе выборочных данных, необходима проверка статистической значимости параметров модели.

   Для параметра b:

       ,где           - остаточная оценочная дисперсия:      _;

    ;                                          ;                 ; 

   S_e²=4.218691; S_b²=0.010093; t_b=10.35887

   Для параметра а:

    ; ;     
 

   S_a²=1.922072; t_a=29.52455

   Теоретическое значение статистики Стьюдента t_табл =2.365 при α=0.05 и числе степеней свободы n-2=9-2=7  .

   Так как для и а и b коэффициентов t_расч>t_табл , то оба параметра уравнения модели признаются статистически значимыми с вероятностью 95%.

   Статистическая  значимость параметра b подтверждает наличие связи между объемом выпуска продукции и затратами труда.

    Построим доверительный  интервал для параметра b: 

   Таким образом:

 

   б) Проверка общего качества

    Для проверки общего качества рассчитывается коэффициент  детерминации R² .

      

   _R²=0.938761

   Значение  R² свидетельствует о сильной связи между X и Y и при условии статистической значимости коэффициента корреляции R обеспечивает адекватность модели.

   Проверим  коэффициент корреляции  на статистическую значимость. Найдем расчетное значение статистики Стьюдента:

        , где , тогда

   t_R=10.35887

   что больше табличного значения t=2.365 (для α=0.05).

   Следовательно, коэффициент корреляции является статистически  значимым, а так как он характеризует  сильную связь факторной переменной X и результативного показателя Y, модель можно считать адекватной.

   Рассчитаем  скорректированный коэффициент  детерминации:

     ; 

   _{R²kor=0.93001}

   Оба коэффициента детерминации свидетельствуют  о сильной связи между факторными и результативным показателем.

   Проверим  статистическую значимость R² (т.е. уравнения в целом) на основе критерия Фишера.

   Рассчитаем  статистику Фишера:

    ;      F=107.306 .

   Табличное значение статистики  F_табл (α=0.05;1,7)=5.59  . Так как расчетное значение статистики F много больше критического значения F, то модель признается адекватной и надежной с вероятностью 95%.

   в) Точность модели

   Точность  модели определяется на основе средней  относительной ошибки аппроксимации:

   

   δ= 5.293307

   Так как средняя относительная ошибка аппроксимации менее 10%, точность модели признается хорошей.

   Проведенный анализ качества модели свидетельствует  о том, что построена адекватная, надежная и точная модель.

   3. Построение точечного  и интервального  прогноза для X = Х₀

   Для нахождения точечного прогноза подставим  X=16 в уравнение модели:

   Y(16) = 40.93 – 1.04 16= 24.28;

   Y(16) = 24.28177

   Найдем  интервал разброса средних значений объема выпуска при выбранном  объеме затрат труда X=16.

   Для этого сначала рассчитаем выборочную дисперсию Y в точке X=16.

     S²_Y(X0) = 0.630224 
 
 

Построим  доверительный интервал (уровень  доверия 95%) для среднего значения Y при Х₀=16:

   

   Следовательно, ожидаемое значение объема выпуска  при затратах труда в 16 единиц с  вероятностью 95% будет находиться в  интервале: 22.4043<=M<=26.1593 

   Задание №2

   Построить линейную модель множественной регрессии, используя Пакет анализа EXCEL. Объяснить результаты.

Таблица №3 – Начальные  данные.

   Решение.

   Выбираем  линейную модель:   .

   Найдем  ее параметры и оценим качество с  использованием средств ППП "EXCEL".

   1. Запишем исходные данные в  таблицу:

Таблица №4 – Вспомогательная  таблица.