Математические методы в экономике

 

   Решение.

   1. Для выявления  тенденции используем  метод Фостера - Стьюарта

    Определим величины U_i и V_i . Величина U_i =1, если соответствующий уровень временного ряда больше всех предшествующих уровней. V_i =1, если соответствующий уровень временного ряда меньше всех предшествующих уровней. Рассчитаем величины K и L. 
 

K=7; L=7; n=9

   Рассчитаем  t-статистики:

    Значения  выбрали из таблицы табулированных значений (при ) для n=9.

        

   t _к=2.65459        t _L=3.63259

   t=2.365

   Теоретическое значение статистики Стьюдента для  α=0.05 и числа степеней свободы n-m-1=7:

   Так как обе статистики t_K  и t_L больше табличного значения t, то с вероятностью 95% можем утверждать, что временной ряд имеет тенденцию как в среднем (т.е. имеется тренд), так и в дисперсии.

   2. Построение модели

   По  расположению точек на диаграмме  рассеяния можно предположить, что  кривую роста можно представить  в виде линейной функции (прямая линия).

   Тогда уравнение модели запишем как: Ŷ=a+bt .

 

   Рисунок 2 – Зависимость Y от временного ряда (маркер) и уравнение модели (прямая).

   Найдем  коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов, для чего составим систему нормальных уравнений:

     ;     a=42.2778; b-2.76667

   Промежуточные расчеты отразим в  таблице. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица №6 – Таблица для  расчета параметров и характеристик  модели.

 

   Таким образом, уравнение кривой роста: Ŷ=42.28-2.77t

   3. Проверка качества  модели.

   a) Рассчитаем R²

          R²=0.9524                          

   Проверим  его статистическую значимость на основе критерия F-критерия Фишера.

      F=140.047;

   Это больше табличного значения F(α=0.05;1,7)=5.59  . Следовательно, уравнение кривой роста в целом статистически значимо.

   б) Проверим статистическую значимость параметра  b

             

     3.27937

     0.05466

         11.8342

   Статистика  t_b больше табличного значения статистики Стьюдента t(7;0.05)=2.365 . Следовательно, параметр b статистически значимо с вероятностью 95% отличается от нуля, что подтверждает наличие зависимости показателя Y от времени.

   с) Точность модели

   Для оценки точности модели рассчитаем среднюю  относительную ошибку аппроксимации:

    ;   δ=4.63449<10%, что свидетельствует о достаточной точности построенной модели.

   4. Проведем оценку  качества модели  кривой роста на  основе исследования  ряда остатков

   Для того, чтобы считать построенную модель адекватной и надежной проверим выполнение требований случайности и независимости элементов ряда остатков.

   a) Проверку случайности ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

   Число поворотных точек - P=5. Рассчитаем теоретическое значение поворотных точек для α=0.05  .

P₁=[2(n-2)/3-2√16*n-29/90]= [2(9-2)/3-2√16*9-29/90]=2

     Так как P>P₁ , ряд остатков является случайным с вероятностью 95%

   б) Проверку независимости  элементов ряда остатков осуществим на основе критерия Дарбина-Уотсона.

   Вычислим  статистику d:

    ;    d=1.00058; d^*=2.99942

   Критическое значение статистики d при 5% уровне значимости:

   d₁=0.824; d₂=1.32  .

   Таким образом, расчетное значение статистики d* попадает в интервал:   d₂<=d*<=2, что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в ряду остатков.

   c) Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения на основе RS-критерия.

   При соответствии ряда остатков нормальному  закону распределения для величины RS=(E_max -E_min)/S  должно выполнятся, условие:  α<RS<β, где α и β нижнее и верхнее значения критических уровней, рассчитанных в зависимости от доверительной вероятности и качества уровней ряда остатков.

   Рассчитаем  статистику RS:

     ; S=1.69394;  RS=2.91234  .

   Значение  нижней и верхней границ интервала  для статистики RS, при доверительной вероятности 0.95: α=2.59; β=3.399 .

   Следовательно, элементы ряда остатков подчиняются  нормальному закону распределения, и мы можем, с помощью построенной  трендовой модели, дать не только точечный, но и доверительный интервал для  Y(t).

   Вывод: исследование ряда остатков свидетельствует об адекватности и надежности построенной модели. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание №4

1. При открытии счета  при ставке 20% годовых  10.01.99 на счет положена  сумма 10000 руб.  С 15.02.99 ставка  процентов по вкладу 15% годовых. 11.03.99 со  счета снята сумма  5000 руб. С 15.04.99 ставка процентов по вкладу 10% годовых. 20.04.2000 счет закрыт. Найти полученную сумму, используя английский, французский и германский способы начисления процентов. Решить задачу также с учетом закрытия старого счета и открытия нового 11.03.99 на полученную сумму с вычетом 5000 руб.

Германский:

Французский:

Английский:

Реинвестирование:

 

2. Первоначальный капитал на 01.01.1998 — 1000 д.е. Каков будет капитал на 01.01.2001, если начисление процентов будет выполняться с использованием поквартальной ставки 4%? Определить эффективную ставку процентов. Определить эквивалентную номинальную ставку процентов с начислением процентов по полугодиям.

_{а) Капитал на 01.01.2001:}

     

     б) Эффективная ставка процентов

     

     в) Эквивалентная номинальная ставка процентов с начислением процентов по полугодиям

       

  3. Для получения постоянной ренты в течение 5 лет с выплатами в начале каждого года по 800 д.е. на специальный счет банка были вложены средства при номинальной годовой ставке 8% годовых с начислением процентов ежемесячно. Найти размер вклада.

 

4. Оценить рост цен  за год при темпах  инфляции 3% в месяц,  Определить простую  годовую и сложную  ежеквартальную барьерные  банковские ставки  процентов. Определить  простую годовую  и сложную ежеквартальную  брутто-ставки процентов.

  

  Барьерные ставки:

  Простая:          

  

  Сложная:          

  

  Брутто-ставки:

  Простая:          

  

  Сложная:          

  

чтобы численно подсчитать брутто-ставки в условиях задачи не хватает  “процентов, которые  обеспечивали бы реальную доходность по вкладам”!!