Далее, с помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов  вложений систему уравнений (12) можно представить в следующем виде:

            ∆ ’   i=1…n                               (15)

     Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции  определён в сравнении с (t-1)-м  периодом:

     

’

     Отсюда  можно записать следующие соотношения:

            ’ ,    i=1…n    (16)

     Пусть нам известны уровни валовой продукции  всех отраслей в предыдущем периоде  (величины  (t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения представляют собой систему n линейных уравнений  с n неизвестными уровнями производства t-го периода.

     Таким образом, решение динамической системы  линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем  периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений , характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Примеры расчета межотраслевого баланса.

     Пример 1. Построение межотраслевого баланса   производства и распределения продукции. 

     Для трёхотраслевой экономической системы  заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

                                                                

     

              

     Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения  невырожденных матриц

     - находим матрицу (E-A):

     

     -вычисляем  определитель этой матрицы: 

     

                

     - транспонируем матрицу  (E-A) : 

     

     Находим алгебраическое дополнение для элементов  матрицы  (E-A)`: 

     

     

     

         

     

     

     

     

     

     Таким образом, присоединённая к матрице (E-A) матрица имеет вид:

     

     Чтобы найти матрицу коэффициентов полных  материальных затрат, воспользуемся формулой матричной алгебры:

     B= (E-A)  =  (E-A)\ |E-A|

     Получим: При этом проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна для всех стран.

     

     Найдём величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х):  

     

     Итак, теперь определим квадранты материального  межотраслевого баланса. Для получения  первого столбца первого квадранта  нужно элементы первого столбца  заданной матрицы А умножить на величину = 775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на = 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на =729.6.

     Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся как разность между объёмами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

     Наконец, четвертый квадрант в данном примере  состоит из одного показателя и служит также для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в табл.3: 

     Таблица 3. Межотраслевой баланс производства и распределения продукции. 

 

Пример 2.

      Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется  для производства стали, а некоторое  количество стали — в виде инструментов — нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля — 0,1 т стали (Таблица 4).              

                   Таблица 4

      Мы  хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был  (200 000) тонн угля, а чёрной металлургии — (50 000) тонн стали. Если каждая из них будет производить лишь и тонн, то часть продукции будет использоваться в другой отрасли.

      Для производства тонн стали требуется (150 000) тонн угля, а для производства тонн угля нужно (20 000) тонн стали. Чистый выход будет равен: (50 000) тонн угля и (30 000) тонн стали.

      Нужно дополнительно производить уголь  и сталь, чтобы использовать их в  другой отрасли. Обозначим x₁ — количество угля, x₂ — количество стали. Валовый выпуск каждой продукции найдем из системы уравнений:

      Решение: 500 000 т угля и 100 000 т стали. Для  систематического решения задач  расчета межотраслевого баланса  находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т каждого продукта.

x₁ = 1,42857 и x₂ = 0,14286. Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска т угля, нужно умножить эти цифры на . Получим: (285714;28571).

Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т  стали:

x₁ = 4.28571 и x₂ = 1.42857. Для чистого выпуска т стали нужно: (214286; 71429).

Валовый выпуск для производства тонн угля и тонн стали: (285714 + 214286;28571 + 71429) = (500000;100000).

Пример 3.

Для трёхотраслевой экономической системы заданы матрица  коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции (11,245):

     || 0.3. 0.1  0.4||                       ||2  0  0|| 

А= ||0.2  0.5  0.0||                  Y= ||1  0  0|| 

     ||0.3  0.1  0.2||                        ||3  0  0|| 

1. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц

- находим  матрицу (E-A):

            ||1  0  0||      || 0.3  0.1  0.4||            ||0.7  -0.1 -.0.4||

(E-A)=  || 0  1 0||  -   || 0.2 0.5   0.0||  =        ||-0.2  0.5   0.0||

            || 0  0 1||      || 0.3  0.1  0.2||            ||-0.3- 0.1  0.8|| 

-вычисляем определитель этой матрицы:

            || 0.7  -0.1  -0.4||

|E-A|=   ||-0.2   0.5    0.0||    =   0.196

            ||-0.3   -0.1   0.8|| 

- транспонируем матрицу  (E-A) :

            ||0.7  -0.1  -0.4||

|E-A|=   ||-0.2   0.5   0.0||

            ||-0.3   -0.1  0.8||

находим алгебраическое дополнение для элементов  матрицы  (E-A)`: A11= (-1)  | 0.5 -0.1 | =  0.40

               | 0.0  0.8  |

A13= (-1)  |-0.1  0.5 | =  0.20

                 |-0.4 0.0 |

A22= (-1)  | 0.7 -0.3 | =  0.44

                | -0.4  0.8|

A31= (-1)  |-0.2 -0.3 | = 0.17

               | 0.5  -0.1 |

A11= (-1)  | 0.7 -0.2 | =  0.33

                |- 0.1  0.5|

                  | -0.1 -0.1|

A12= (-1)    | -0.4  0.8 |=0.12

                | -0.2  -0.3 |

A21= (-1)  |  0.0    0.8 | =  0.16

                | 0.7  -0.2 |

A23= (-1)  |- 0.4  0.0 | =  0.08

                  | 0.7  -0.3|

A32=   (-1)  |-0.1 -0.1 |=0.10

Таким образом, присоединённая к матрице (E-A) матрица имеет вид:

              ||0.40  0.12  0.20||

(E-A) =   ||0.16  0.44  0.08||

              ||0.17  0.10  0.33||

Чтобы найти матрицу коэффициентов  полных  материальных затрат, воспользуемся  формулой матричной алгебры:

B= (E-A)  =  (E-A)\ |E-A|  ( 1,245)

Получим:

                 ||2.041  0.612  1.020||

B=(E-A)  =    || 0.816  2.245  0.408||

    || 0.867  0.510  1.684|| 

2. найдём  величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х), используя формулу:

 

               ||2.041  0.612  1.020||       ||200||     ||775.3||

X= BY  =  ||0.816  2.245  0.408||  *   ||100||   =||510.1||

               ||0.867  0.510  1.684||       ||300||     ||739.6|| 

3. итак, теперь определим квадранты материального  межотраслевого баланса. Для получения  первого столбца первого квадранта  нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х2 = 775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2= 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3=729.6.

Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся как разность между объёмами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Наконец, четвертый квадрант в данном примере  состоит из одного показателя и служит также для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в табл. 5: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 5 Межотраслевой баланс производства и распределения продукции.