Модели поведения производителей

- X1+ x2 ≤ 1 т краски сутки. (3)

  X2 ≤ 2 т краски сутки.          (4)

X1 ≥ 0,x2 ≥0  т краски сутки.  

Построим  прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек

пересечения этих прямых с осями координат. (рис. 2.2).

x1+ 2x =6, (1)

2x1+ x2 = 8, (2)

- X1+ x2 =1, (3)

X2 = 2. (4)

1. = x1=0 ;   (2) = x1=0;    x1=4;   (3) = x1=0;   x1=-1

    x2=3              x2=8      x2=0              x2=1    x2=0             

Прямая (4) проходит через точку x2 = 2 параллельно оси x1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в  исходное ограничение (3), получим 0 ≤1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (см. рис. 2.2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF. Целевую прямую можно построить по уравнению;

3x1 + 2x2 = 6, 

X1= 0,  x1= 2,

X2= 3,  x2= 0, 

Строим  вектор  C из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е – это последняя

вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую

проходит  целевая прямая, двигаясь по направлению вектора! C. Поэтому Е –это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2). 

x1+ 2x2 =6 (1)     x1= ,   x2= ,

2x1+ x2=8 (2)              

Е (3 )  [т/сутки]. 

Максимальное  значение ЦФ равно L(E) = 3 [тыс. руб./сутки]. Таким образом, наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски 1-го вида в объеме т и краски 2-го вида в объеме т. Доход от продажи красок составит тыс. руб. в сутки. 
 
 
 
 
 
 

3. Произвести анализ чувствительности модели.

Проанализируем  чувствительность оптимального решения  задачи № 1.01

о производстве красок. В оптимальной точке Е пересекаются прямые (1) и (2). Поэтому ограничения (1) и (2) являются связывающими, а соответствующие им ресурсы (ингредиенты А и В) – дефицитными.

Рассмотрим  экономический смысл этих понятий. Точка максимума ЦФ Е

соответствует суточному производству т краски 1-го вида и т краски 2-

го вида. В производстве красок используются ингредиенты А и В. Суточный

запас на складе ингредиентов А и В – это правые части связывающих

ограничений (1) и (2) (6 и 8 т ингр./сутки). Согласно этим ограничениям, на

производство  в точке Е расходуется;

(1). 1*3[т ингр.А сутки] и (2). 2*3[т ингр.В сутки].

Таким образом, понятие "связывающие ограничения" (1) и (2) означает,

что при производстве красок в точке  Е (3 )  [т/сутки]. запасы ингред-иентов А и В расходуются полностью и по этой причине невозможно дальнейшее наращивание производства. В этом заключается экономический смысл понятия дефицитности ресурсов, т.е. если фирма сможет увеличить суточные запасы ингредиентов, то это позволит увеличить выпуск красок.

Чтобы численно определить максимальную величину запаса дефицитного

ресурса, вызывающую улучшение оптимального решения, необходимо: 1) определить координаты точки (x1;x2 ), в которой соответствующее ограничение становится избыточным; 2) подставить координаты (x1;x2 ) в левую часть соответствующего ограничения.

Координаты  точки К(3;2) находятся путем решения системы уравнений

прямых (2) и (4). Т.е. в этой точке фирма  будет производить 3 т краски 1-го

вида  и 2 т краски 2-го вида. Подставим x1 = 3 и x2 = 2 в левую часть

ограничения (1) и получим максимально допустимый запас ингредиента А

x1 + 2x2 = 3 + 2 * 2 = 7 [т ингр.А/сутки].

Дальнейшее  увеличение запаса ингредиента А нецелесообразно, потому

что это  не изменит ОДР и не приведет к другому оптимальному решению Доход от продажи красок в объеме, соответствующем точке К, можно

рассчитать, подставив ее координаты (3;2) в выражение  ЦФ

3x1 + 2x2 = 3*3 + 2 * 2 =13 [тыс.руб./сутки].

В точке J выгодно производить только краску 1-го вида (6 т в сутки).

Доход от продажи при этом составит;

3x1 + 2x2 = 3*6 + 2 *0 =18 [тыс.руб./сутки].

Чтобы обеспечить такой режим работы, согласно правилу № 3.2, запас

ингредиента В надо увеличить до величины;

2x1 + x2 = 2 * 6 + 0 =12[т ингр.В/сутки].

Ограничения (3) и (4) являются не связывающими, т.к. не проходят через

оптимальную точку E Соответствующие им ресурсы (спрос на

краски) являются недефицитными. С экономической точки зрения это

означает, что в данный момент уровень спроса на краски непосредственно не

определяет  объемы производства. Поэтому некоторое  его колебание может

никак не повлиять на оптимальный режим  производства в точке E.

Например, увеличение (уменьшение) спроса на краску 2-го вида будет

соответствовать перемещению прямой ограничения x2 ≤ 2 (4) вверх (вниз).

Перемещение прямой (4) вверх никак не может  изменить точку Е максимума

ЦФ. Перемещение  же прямой (4) вниз не влияет на существующее оптимальное решение только до пересечения с точкой Е.

 Кроме  того, любое оптимальное решение для этой новой ОДР будет хуже точки Е. Чтобы численно определить минимальную величину запаса

Недефицитного ресурса, не меняющую оптимальное решение,

необходимо  подставить координаты оптимальной точки в левую часть

соответствующего  ограничения. Чтобы выяснить, до каких пределов падение спроса на краску 2-го вида не повлияет на производство в точке (3).

Е (3 )  [т/сутки].

Подставляем в левую часть ограничения (4) координаты точки Е, получаем

.

Делаем  вывод: предельный уровень, до которого может упасть спрос на

краску 2-го вида и при котором не изменится оптимальность полученного ранее решения, равен1 т краски в сутки.

Экономический смысл ограничения .

− x1 + x2 ≤1 [т краски сутки].

в том, что объем продаж краски 2-го вида может превысить объем продаж

краски 1-го вида максимум на 1 т. Дальнейшее увеличение продаж краски 2-го вида по сравнению с краской 1-го вида графически отобразится перемещением прямой (3) влево и вверх, но никак не повлияет на оптимальность точки Е. Но если разность спросов на краску 2-го и 1-го видов будет уменьшаться, то прямая (3) будет перемещаться ниже и правее. Последним положением прямой (3), при котором точка Е остается оптимальной, является пересечение с точкой.

-x1+ x2 = -3 + 1 = -2 [т краски].

Получаем, что разность спросов на краску 2-го и 1-го вида в точке стала

отрицательной. То есть, прохождение прямой (3) через  точку Е означает, что

краску 2-го вида будут покупать в меньшем  объеме, чем краску 1-го вида

x1 −  x2 = 2 [т краски/сутки].

Делаем  вывод: максимальное превышение спроса на краску 1-го вида над

спросом на краску 2-го вида, при котором оптимальное  решение в точке Е не

изменится, составляет 2 т краски в сутки.

Список  литературы.

1. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике — К.: Финансы и статистика, 2000.
2. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику — Д.: Наука, 1998.
3. Богатов О. И., Лысенко Ю. Г., Петренко В. Л., Скобелев В. Г. Рейтинговое управление экономическими системами. Донецк: Юго-Восток Лтд, 1999.
4. Брігхем Є. Основи фінансового менеджменту: Пер. з англ — К.: Молодь, 1997.
5. Бурда М., Виплош Ч. Макроекономіка: Європ. Контекст: Пер.з англ — К.: Основи, 1998.
6. Варфоломеев В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум — Л.: Финансы и статистика, 2000.
7. Вітлінський В. В. Аналіз, оцінка і моделювання економічного ризику — К.: ДЕМІУР, 1996.
8. Вітлінський В. В. Моделювання економіки: Навч. посібник — К.: КНЕУ, 2003.
9. Волгин Л. Н. Принцип согласованного оптимума — К.: Сов. радио, 1997.
10. Вітлінський В. В., Великоіваненко Г. І. Ризикологія в економіці та підприємництві: Моногр. — К.: КНЕУ, 2004.
11. Вітлінський В. В., Оболенська Т. Є., Жигоцька Н. В. Моделювання рейтингової оцінки вищого навчального закладу // Економічна кібернетика — 2000 — № 3.
12. Гальперин В. М., Гребенников П. И., Леусский А. И., Тарасевич Л. С. Микроэкономика: Учебник . общ. ред. Л. С Тарасевича. изд., 2-е, перераб. и доп. — СПб.: Изд-во СПБГУЭФ, 1997.
13. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей: Пер. с англ — Л.: Прогресс, 1999.
14. Горбачук В. Макроекономічні методи — К.: Альтерпрес, 1999.
15. Гребенников П. И., Леусский А. И., Тарасевич Л. С. Микроэкономика: Учебник / Общ. ред. Л. С. Тарасевича 2-е Изд перераб. и доп — СПб.: Изд-во СПБГУЭФ, 1998.
16. Долан Э. Дж. Линдсей Д. Е. Рынок: микроэкономическая модель — СПб., 1998.
17. Загородній А. Г., Вознюк Г. Л., Смовженко Т. С. Фінансовий словник — 3-тє вид., випр. та доп — К.: Т-во «Знання». КОО, 2000.
18. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник — К.: 1997.
19. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ — Д.: Мир, 1999.
20. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория — Д.: Прогресс, 1995.