Построение моделей временных рядов

     1.2 Вычисление среднего значения, дисперсии,  меры разброса 

     Найдем  оценки основных характеристик ряда [6]:

1. Среднее значение месячного уровня осадков за весь период (55 месяцев):

 

                                                                                                          (2.1) 

      30,48

     Аналогично  найдем среднемесячные удои молока за весь период:

      7,22

     Далее найдем дисперсию и меру разброса по формулам: 

                                                                                             (2.2)

                                                                                                                 (2.3) 

     Получаем:

       18,155

       2,474

     S_x1 =  4,261

     S_x2 =  1,573 

     Таким образом, в среднем на необитаемом острове выпадает 30,48 миллиметров осадков, а среднемесячные удои молока составляют 7,22 галлонов. Значения месячного уровня осадков колеблются в пределах ± 4,261 миллиметров от среднего. Значения среднемесячных удоев молока варьируются в пределах  ± 1,573 галлонов от среднего.

     На  основе полученных данных можно предположить, что временные ряды уровня осадков и удоев, возможно, имеют периодический характер, поскольку значения обоих рядов отклоняются от среднего не значительно. 

     1.3 Вычисление автоковариационной  и автокорреляционной функции.  Построение коррелограммы 

     Найдем  автоковариационную функцию, которая показывает зависимость между элементами временного ряда, сдвинутых по времени на величину , по формуле[2]: 

      ,                                                               (2.4)

                где   

     Вычислим  автоковариационную функцию для двенадцати значений месячного уровня осадков и среднемесячных удоев молока:

     Таблица 2.1

     Вычисление  автоковариационной функции

 

     Вычислим  автокорреляционную функцию месячного уровня осадков и среднемесячных удоев молока для 12 значений по формуле: 

                                                                  (2.5)

Таблица 2.2

Вычисление  автокорреляционной функции

     Построим  коррелограмму для месячного  уровня осадков (Рис.2.1).

 

Рис.2.1. Коррелограмма месячного уровня осадков

 

     Из  построенной коррелограммы для  месячного уровня осадков можно  сказать о периодичности, т.е. сезонной зависимости уровня осадков. Также график показывает, что элементы ряда имеют большой разброс во времени, значит, элементы ряда слабо связаны друг с другом.

     Построим  коррелограмму для среднемесячных удоев молока (Рис.2.2).

 

Рис.2.2. Коррелограмма среднемесячных удоев молока 

     Из  построенной коррелограммы видно, что элементы временного ряда имеют  небольшой разброс во времени, значит, элементы ряда связаны друг с другом. Также видно, что разброс значений автокорреляционной функции повторяется через некоторый период времени, что говорит о возможном присутствии сезонной компоненты. 
 
 

2 ПОСТРОЕНИЕ  МОДЕЛИ ВРЕМЕННОГО РЯДА

 

     2.1 Построение модели для неслучайных  компонент 

     Запишем основное разложение временного ряда. Т.к. амплитуда колебаний значений месячного уровня осадков постоянна, значит, будем строить аддитивную модель[1]. 

       

 

       Проверим  гипотезу о наличие/отсутствия сезонности в этом разложение:

      

       Для проверки этой гипотезы используют следующие  критерии:

1. Критерий серий.
2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.
3. Критерий Абеля.

     Проверим  гипотезу  с помощью критерий серий[3].

1. Расположим элементы данного временного ряда в порядке возрастания Х₁: 22,7; 22,8;…;31,2;…;39,6;39,9.
2. Вычислим выборочную медиану

 

                                                                     (2.1) 

     В данном случае, N=55 – нечетно. Значит,

     3) Получаем серию знаков «+» и  «- » по правилу:

     Вместо  каждого элемента временного ряда нужно  поставить:

     «+», если

     «-», если  

     На  основание «+» и «- » вычисляем количество серий ( ) и длину максимальной серии ( ).

      = 27

      = 4

3. Критерий проверки гипотезы опирается на две статистики:

 

                                                                             (2.2)

                                                                                            (2.3) 

     Итак, 27>21,3 и 4<5,756.

     Следовательно, в данном временном ряде отсутствует  такая компонента как тренд, поскольку  данный критерий наилучшим образом  позволяет определить наличие трендовой  компоненты.

     Проверим  гипотезу с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий[4].

     Этот  критерий улавливает постепенное смещение среднего значения не только монотонного, но и периодического характера.

1. Анализируем последовательность знаков «+» и «- » по правилу:

поставить «+», если

                  «-», если 

     Количество  серий ( ) = 34

     Длина максимальной серии ( ) = 3

2. Приближенное правило проверки:

 

                                                                 (2.4)

      ,                                                                                                  (2.5)

       где

                                                                                     (2.6) 

     Итак, 34>30,31 и 3<6 – значит, гипотеза Н₀ не отвергается, следовательно, в разложение временного ряда отсутствует сезонная компонента.

     Проверим  гипотезу с помощью критерия Абеля [5].

     Вычислим: 

                                             (2.7) 

                                                           (2.8)                                              

                                                                                       (2.9)

     При больших N   ,                                                (2.10)           

     где - квантиль стандартного нормального распределения. 

     

     Т.к. , то гипотеза Н₀ отвергается. Значит, в разложении временного ряда присутствуют неслучайные компоненты.

     На  основе выводов, сделанных во второй главе, можно записать основное разложение временного ряда для среднемесячных удоев молока: 

     

 

     Проверим  гипотезу о наличии/отсутствия тренда и сезонности в разложении временного ряда.

       

     Проверим  гипотезу с помощью критерия серий.

     1) Расположим элементы данного  временного ряда в порядке  возрастания Х₂:4,3;4,7;…;7,1;…;11,2;12,9 .

     2) Вычислим выборочную медиану: 

                                                                (2.11) 

     В данном случае, N=55 – нечетно. Значит,

     3) Получаем серию знаков «+» и  «-» по правилу:

     Вместо  каждого элемента временного ряда нужно поставить:

     «+», если

     «-», если  

     На  основание «+» и «-» вычисляем  количество серий ( ) и длину максимальной серии ( ).

      = 10

      = 8

     4) Пользуясь формулами (2.2) и (2.3), вычисляем две статистики для проверки гипотезы.