Построение моделей временных рядов

     Сформулируем  гипотезы:

       структурная стабильность

      структурное изменение.

     1 уравнение: Т⁽¹⁾ = 

      t:1;2;…;22

      T=X-S: 11,548; 9,797;…; 6,941.

     Сделаем матричные обозначения и найдём , , .

                              

           

      Оценка  неизвестных параметров  

     2 уравнение: Т⁽²⁾ = 

      t:23;24;…;55

      T=X-S: 10,955; 9,589;…;6,186. 

     Сделаем матричные обозначения и найдём , , .

                              

           

      Оценка  неизвестных параметров

      В таблице 2.13 приведены расчеты по тесту Чоу.

      Таблица 2.11

      Тест  Чоу

 

     Остаточная  сумма квадратов для кусочной модели [1]:

      = + = 12,185

     Соответствующее ей число степеней свободы составит:   

      = 49

     Сокращение  остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к  кусочной модели можно определить следующим  образом:

     ∆ESS = ESS³ – ESS = 38,135-12,185=25,95 0.

     Число степеней свободы, соответствующее , будет равно: .

     Найдем  F–статистику по следующей формуле:  

       при k=3, N=55.                                                        (2.32) 

     F_kp (k, N-2*k)= F_kp(3,49) = 2,8

     Так как  , следовательно, гипотеза (о структурной стабильности ряда) отвергается при уровне значимости . Можно сделать вывод о том, что влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признается значимым.

     Таким образом, моделирование тенденции  временного ряда, следует осуществлять с помощью кусочной модели (Рис.2.7). 

     

     Рис. 2.7. Изменение характера тенденции  временного ряда  

     Проверка  ряда на наличие структурных изменений с помощью подхода Гуйарати [2].

     Этот  подход основан на использование  фиктивной переменной, которая принимает  два значения: 0 и 1. 

                                                                                                     (2.33) 

     Общее уравнение Гуйарати имеет вид:

     Y_t =

     При

      , где  - параметры 1-го уравнения.

     При

      , где  - параметры 2-го уравнения

      - разница между свободными  членами уравнений 1) и 2): если  θ₁ – значимый, то изменение – значимо.

      т.е. есть разница между параметрами  θ₁₁ и θ₁₂ уравнений (1) и (2): если θ₃ – значимый, то изменение – значимо.

      т.е. есть разница между параметрами  θ₂₁ и θ₂₂ уравнений (1) и (2): если θ₅ – значимый, то изменение – значимо.

     Оценка  статистической значимости различий , а также и эквивалентна оценке статистической значимости параметров уравнения Гуйарати.

     Чтобы сделать проверку значимости сначала  найдём

      t:1;2;…;55

      T=X-S: 11,548;9,797 ;…;6,186.

      Сделаем матричные обозначения и найдём . 

        

      

     Оценка  неизвестных параметров  

     Проверим  значимость параметров , в каждом уравнении регрессии, используя критерий Стьюдента.

     Выдвигаем гипотезы: 

       

                                                                                             (2.34)

                                                                                                         (2.35) 

      =

 

                                                                                                  (2.36) 

     S² = 0,2487

     Таблица 2.12

      Проверка  значимости параметров уравнения

 

     

     Таким образом, параметры  , , признаются значимыми.

     В целом по подходу Гуйарати можно  сделать вывод о влияние структурных  изменений на динамику временного ряда и признание этого влияния  значимым.

     Прогнозирование значений месячного уровня осадков  будем осуществлять по следующей  модели: 

     X₁(t)=30,714+S_i+E 

     Результаты  расчетов представлены в таблице 2.15.

     Таблица 2.13

     Расчет  прогнозных значений Х₁

 

     График  результатов прогнозирования на 5 месяцев представлен на рисунке 2.8.

     

     Рис.2.8. Результаты прогнозирования для  месячного уровня осадков 

     Количество  осадков зависит только от сезона года и график это полностью подтверждает.

     Наилучшая модель, описывающая среднемесячные удои молока, является кусочная модель:

     1)Х(t) = ,

     2)Х(t) = ,

Таблица 2.14

Расчет  прогнозных значений для Х₂

 

     На  рисунке 2.9 представлен результат прогноза на 5 месяцев. 

Рис.2.9. Результаты прогнозирования для среднемесячных удоев молока

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

     Таким образом, первичный статистический анализ показал, что в среднем на необитаемом острове выпадает 30,48 миллиметров осадков, среднемесячные удои молока за весь изучаемый период составляют 7,22 галлонов.

     Проверка  гипотезы о наличие неслучайных  компонент в разложение временного ряда месячного уровня осадков подтвердила предположение, выдвинутое при анализе графика, об отсутствие трендовой составляющий. Также было выявлено, что отсутствует и сезонная компонента, но дальнейший анализ показал, что эта компонента все-таки присутствует в разложение данного временного ряда. Присутствие сезонной компоненты объясняется тем, что среднемесячное количество осадков зависит от времени года: в летний период на острове выпадает больше количество осадков по сравнению с зимним.