Система переменных и ограничений ЭММ в кормопроизводстве

 
 
 

     Задание 5. Решение задачи линейного программирования модифицированным симплексным методом.

      Дана  математическая запись модели:

      4x₁ + 7x₂ - 9х₃ = 6;

      2x₁ + 2x₂ - 2х₃ ≥ 2;

      2х₂ + 5х₃ ≤ 5;

      F(x)= 9x₁ + 5х₂ - 4х₃ → min.

      Решить  задачу оптимизации модели модифицированным симплексным методом.

     Решение:

Решим прямую задачу линейного программирования  модифицированным симплексным методом.

       Определим минимальное значение  целевой функции F(X) = 9x₁+5x₂-4x₃ при следующих условиях-ограничений.

4x₁+7x₂-9x₃=6

2x₁+2x₂-2x₃≥2

2x₂+5x₃≤5

       Для построения первого опорного  плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

4x₁ + 7x₂-9x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 6

2x₁ + 2x₂-2x₃-1x₄ + 0x₅ = 2

0x₁ + 2x₂ + 5x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 5

       Решение состоит из двух этапов. Первый этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции.

      Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса. 

 Имеем:

 Матрица коэффициентов  A = a_ij

 

 Матрица b. 

 Итерация №1.

<X> = (6, 7, 5) 

 Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 0, -1, -1)

c_B = (-1, -1, 0)

c_N = (0, 0, 0, 0) 

 Вычисляем:

 Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения. 

u = c_BB^-1 = (-1, -1, 0) 

 c^* = c_N - uN = (6, 9, -11, -1)

 Откуда s = 2 
 

 Откуда r = 1

 Итерация №2.

<X> = (2, 7, 5) 

 Матрица c.

c = (6, 9, -11, -1, 0, 0, 0)

 Вычисляем: 

u = c_BB^-1 = (1.2857, 0, 0) 

 c^* = c_N - uN = (0.8571, 0.5714, -1, -1.29)

 Откуда s = 1 
 

 Откуда r = 2

 Итерация №3.

<X> = (2, 1, 5) 

 Матрица c.

c = (0.8571, 0, 0.5714, -1, 0, -1.2857, 0)

 Вычисляем: 

u = c_BB^-1 = (-0.2857, 1, 0) 

 c^* = c_N - uN = (-0, 0, -1, -1)

 Откуда s = 2 
 

 Откуда r = 1

 Итерация №4.

<X> = (4, 1, 5) 

 Матрица c.

c = (0, 0, -0, 0, 0, -1, -1)

 Вычисляем: 

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0) 

c^* = c_N - uN = (0, -0, -1, -1)

Нулевая строка симплексной таблицы неотрицательна. Найдено оптимальное решение X.

       Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

 Выразим базисные  переменные:

x₁ = 1.5+1.75x₂-2.25x₃

 которые подставим  в целевую функцию:

F(X) = 9(1.5+1.75x₂-2.25x₃) + 5x₂-4x₃

 или

F(X) = 13.5-10.75x₂+16.25x₃

 Имеем:

 Матрица коэффициентов  A = a_ij 

 Матрица b. 

 Итерация №1.

<X> = (4, 1, 5) 

 Матрица c.

c = (0, 10.75, -16.25, 0, 0)

c_B = (0, 0, 0)

c_N = (10.75, -16.25, 0, 0) 

 Вычисляем:

 Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения. 

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0) 

c^* = c_N - uN = (10.75, -16.25, 0, 0)

 Откуда s = 1 
 

 Откуда r = 1

 Итерация №2.

<X> = (2, 1, 5) 

 Матрица c.

c = (0, 10.75, -16.25, 0, 0)

 Вычисляем: 

u = c_BB^-1 = (3.5833, -7.1667, 0) 

c^* = c_N - uN = (1.6667, -7.1667, 0, 0)

 Откуда s = 1 
 

 Откуда r = 3

 Итерация №3.

<X> = (2, 1, 3) 

 Матрица c.

c = (0, 0, 1.6667, -7.1667, 0)

 Вычисляем: 

u = c_BB^-1 = (-0.1333, 0.2667, 0.2) 

c^* = c_N - uN = (-6.9, -0.2, 0, 0)

 Нулевая строка  симплексной таблицы неотрицательна. Найдено оптимальное решение  X.

 Вектор результатов  X = (0.04, 1.4, 0.44)^T

 Значение  целевой функции F(X) = bc = 5.6

Оптимальный план можно записать так:

      x₁ = 0.04

      x₂ = 1,4

      x₃ = 0,44

      F(X) = 5.6 

     Список  литературы 

     

1. Математическое  моделирование экономических процессов  в сельском хозяйстве. / ГатаулинА.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.М. и др. Под ред. А.М. Гатаулина. – М.: Агропромиздат, 1990 – 432 с.
2. Математические методы в экономике и моделирование социально экономических процессов в АПК / В.А. Кундиус, Л.А. Мочалова, В.А. Кегелев, Г.С. Сидоров – 2-е издание, переработанное и дополненное.  – М.: Колос, 2001. –  288с.     
3. Лихтенштейн В.Е., Павлов В.И. Экономико-математическое моделирование. Учебное пособие. – М.: Издательство «ПРИОР», 2001. – 448 с.
4. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для ВУЗов/Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 391с.
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браннов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х частях. – М. Финансы и статистика, 2000. – 224 с.