Задачи обслуживания в системах с потерями

где 

Величина  называется параметром потока. Она может быть неограниченно большой.

Функция является вероятностью того, что за время в систему поступит по крайней мере одно требование. Действительно, так как  

то  

Но_{, т.е.}  

Следовательно, есть вероятность того, что за время в систему поступит на обслуживание по крайней мере одно требование.

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Оно основано на следующей лемме.

Лемма 1. Если есть функция, неубывающая на отрезке и при и , то отношение при стремится к пределу, который либо является конечным числом, либо неограниченно возрастает, и равен нулю только в случае, когда

Опираясь на лемму, для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что функция удовлетворяет условиям леммы. Действительно, уже из определения следует, что . Если же выбрать промежуток достаточно большим, то вероятность появления в системе хотя бы одного требования за этот промежуток будет отлична от нуля, т.е. . Исключением может быть только случай, когда поток требований вообще отсутствует, что для нас не представляет никакого интереса. Из определения функции вытекает также, что она является возрастающей функцией. Теперь осталось показать справедливость равенства 

Оно вытекает из теоремы сложения вероятностей, справедливой для суммы любого конечного числа  событий. Действительно, левая часть  неравенства  есть вероятность суммы двух событий, состоящих в появлении хотя бы одного требования за промежуток времени или , поэтому

Но произведение неотрицательно, поэтому  

Таким, образом, все условия леммы 1 выполнены, откуда следует справедливость нашей теоремы 1.

Теперь вернемся к простейшему потоку и исследуем  вид функций  при

Предположим, что  в некоторую обслуживающую систему  поступают заявки на обслуживание. Система начинает функционировать  с некоторого момента  Рассмотрим отрезок времени и определим, какова вероятность того, что за это время поступит точно требований. Точно требований может поступить одним из различных несовместимых способов, представленных в следующей таблице.

Таким образом, если за промежутки времени  в систему поступит точно требований, а за промежуток ни одного требования, то за весь промежуток поступит требований. А если за промежуток поступит требование, а за промежуток - только одно требование, то все равно в сумме за время поступит требований и т.д. Последним возможным событием будет такое событие, когда за промежуток времени не поступит ни одного требования, а за промежуток поступит требований. Следовательно, эти

способов для  рассматриваемого нами случая исчерпывают  все возможные случаи поступления  точно  требований за промежуток времени .

Свойство отсутствия последействия, которое здесь имеет  место, поскольку мы условились, что  исследуемый поток требований является простейшим, позволяет, используя теорему  умножения вероятностей, вычислить  вероятность каждого из событий, т.е. каждого из этих способов появления  точно  требований на обслуживание в данной системе. Так, вероятность того, что за время появится требований, а за время не появится ни одного, равна 

Продолжая аналогичные  рассуждения, можно вычислить и  вероятности всех остальных возможных  случаев появления точно требований за время . Так как все эти случаи попарно несовместны, т.е. никакие два не могут произойти одновременно, то, используя теорему вложения вероятностей, получаем вероятность появления событий

_{которая равна} 

Оказывается, что  все слагаемые суммы, стоящей  в правой части этого равенства, кроме последних двух, являются бесконечно малыми величинами более высокого порядка, чем само приращение времени _{. Более того, оказывается, что их сумма есть бесконечно малая величина этого же порядка. Покажем это.}

Во-первых, очевидно, что 

Справедливость  этого вытекает из того, что  при

Во-вторых, очевидно, что если в сумме  _{продолжать суммирование неограниченно, то она не уменьшится, т.е.}  

Теперь покажем, что даже последняя сумма есть бесконечно малая величина по сравнению  с _{, т.е.}  

За время  может поступить ни одного требования, может поступить только одно или только два и т.д., и это взаимно исключающие друг друга события. Поэтому очевидна справедливость равенства 

Если первые два слагаемых суммы, стоящей  в левой части этого равенства, перенести направо, то оно преобразуется  в следующее 

Сумма, стоящая  в этом новом равенстве справа, есть не что иное, как вероятность  поступления не менее двух требований за время _{. Сумма} есть вероятность непоступления ни одного требования или поступления точно одного требования за время _{. Следовательно,}

  _{есть вероятность  поступления двух, трех} или более требований за это время. Но выше мы эту вероятность обозначили _{и указали, что свойство ординарности,  которым обладает простейший поток, заключается в том, что =o(), т. е. есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем t.}

Поэтому  

при _.

Так как  _{, то тем более}

  при _{, что и требовалось доказать.}

Теперь преобразуем правую часть равенства (1). Сумма всех слагаемых, кроме последних двух, есть бесконечно малая более высокого порядка, чем _{, так как Поэтому} 

Найдем значения _{и . Из теоремы 1 следует, что вероятность} поступления по крайней мере одного требования за время отличается от на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем , т. е. 

Но 

где —вероятность того, что ни одно требование не  поступит в систему за время , поэтому 

откуда 

Теперь найдем _{Так как вероятность поступления в систему хотя бы одного требования за время} есть сумма вероятностей поступления одного, двух, трех и т. д. требований, то 

Из этого равенства  можно определить значение искомой  величины _: 

Но мы уже  знаем, что 

Поэтому 

Полученные выражения (3) для  _{и (4) для подставим в (2). В результате получим уравнение, связывающее ,} и , 

Но так как  и то _{есть бесконечно малая более высокого порядка, чем , т. е.}  

Поэтому 

Перенеся  _{влево и разделив на} , получим 

Переходя к  пределу, получаем 

Предел _{равен нулю, т.к. — бесконечно малая более высокого порядка, чем .}

Таким образом, для определения   _{получена бесконечная рекуррентная система линейных однородных дифференциальных уравнений (5). Но так как выражено через ,то необходимо найти еще одно уравнение для определения . Это уравнение можно получить из условия} 

которое вытекает из свойства отсутствия последействия и теоремы умножения вероятностей. Последнее условие означает, что вероятность отсутствия требований за время равна произведению вероятности отсутствия требований за время (0, t) на вероятность отсутствия требований за время . Подставляя в это уравнение вмеcто _{выражение (3), получаем} 

Откуда 

Поделив правую и левую части этого уравнения на _{и перейдя к пределу при , получим} 

то есть 

Это — дифференциальное уравнение с раздёляющимися переменными.  
 

Отсюда получаем, что 

Для определения  произвольной постоянной С воспользуемся равенством (3), из которого следует, что 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вместо функций   ₍k = 1,2,...) будем искать функции ( Если мы их найдем, то легко будет найти функции _{Для функций} получим следующую систему уравнений: 
 
 

, но  
 
 

При t = 0 получаем 

Отсюда 

Но величины_{, следовательно, их сумма может быть равна нулю только в случае, когда каждая из них равна нулю, т. е. (0) = 0 (}k = 2, 3,...) и _{(0) = 0. Эти условия имеют простой физический смысл. Они означают, что вероятность появления} k требований (k=1, 2,...) зa промежуток времени, не превышающий нуля, равна нулю.

  Итак, для  определения произвольных постоянных имеем следующие условия: 

Из (7) и (8) следует, что и₀ (t) = 1. Подставив и₀ (t) в первое уравнение (9), получим 

и после интегрирования 

Но  = 0 = С₁, поэтому u_l(t) =. Подставив во второе уравнение (9), получим 

откуда после  интегрирования получаем  

Но при t=0  (0) = 0 = С₂, поэтому 

Аналогично получаем  

По индукции получаем, что 

Возвращаясь к_{, из (8) получаем} 

Таким образом, для простейшего потока число  требований в промежутке времени t распределено по закону Пуассона с параметром λt.

Простейший поток  полностью определяется системой функции (10). Функции _{если не считать} , зависят только от параметра потока λ.

  _{есть вероятность  поступления точно} k требований за время (0, t). Следовательно, для того чтобы дать полную характеристику простейшего потока, достаточно знать только одну величину — параметр потока.

Рассмотрим физический смысл λ. Легко показать, что для  простейшего потока параметр λ равен математическому ожиданию  числа требований, поступивших в систему за единицу времени. Чтобы доказать это, вычислим математическое ожидание числа требований, поступивших за промежуток времени (0, t). Оно равно 

Но сумма 

является разложением  в ряд функции  по степеням , поэтому 

Следовательно, математическое ожидание числа требований за единицу времени, которое получается из выражения для при t=1, равно 

Таким образом, если анализ показывает, что изучаемый поток является простейшим,

  т. е. стационарным, ординарным и в нем отсутствует последействие, то для его полного описания достаточно вычислить математическое ожидание числа требований, поступивших за единицу времени.

1.4. Время обслуживания.

Перейдем к  рассмотрению еще одного весьма важного понятия теории массового обслуживания, которое играет большую роль при анализе, постановке и решении задач обслуживания. Это - время обслуживания.

Время обслуживания есть прежде всего характеристика функционирования каждого отдельного аппарата обслуживающей системы. Оно показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одного требования данным обслуживающим аппаратом. Этот показатель обслуживания ничего общего не имеет с оценкой качества обслуживания, а характеризует лишь пропускную способность одного обслуживающего аппарата. При этом предполагается, что если обслуживание требования, поступившего в систему, закончилось, то заявка на обслуживание удовлетворена полностью.

В силу самых  различных причин время обслуживания может меняться от одного требования к другому. Эти причины, в первую очередь, связаны с тем, что поступающие требования не будут полностью идентичными. Телевизоры или радиоприемники, поступающие в мастерскую для ремонта, как правило, имеют самые разнообразные неисправности, и даже в тех случаях, когда неисправности идентичны, время, требуемое для их устранения, может быть различным, если ремонтируются телевизоры или радиоприемники различных марок.