Автор: Пользователь скрыл имя, 31 Марта 2013 в 14:08, реферат
В робота розглянуто діофантові рівняння першого степеня з двома змінними, знаходження частинного та загального розв’язків; способи знаходження частинних розв’язків: спосіб розв’язування підбором, спосіб підстановки; застосування алгоритму Евкліда до розв’язування рівнянь; діофантові рівняння вищих степенів; метод розкладу на множники; метод розв’язування рівнянь з двома змінними як квадратних відносно однієї із змінних; метод цілої та дробової частини; розв’язування задач за допомогою рівнянь в цілих числах; розв’язування олімпіадних та конкурсних задач.
Вступ
Деякі історичні відомості
Діофантові рівняння першого степеня
Методи розв’язування діофантових рівнянь вищих порядків
. Розкладання на множники
. Метод виділення цілої та дробової частини
Висновок
Список використаної літератури
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО
Навчально-науковий інститут фізики, математики та комп’ютерно-інформаційних систем
Кафедра математики та МНМ
Реферат
на тему:
" Діофантові рівняння"
Підготувала:
студентка
ННІ ФМ та КІС
групи ММ1
Зеленоко Наталія
Черкаси 2013
План
Вступ
Висновок
Список використаної літератури
Вступ
Методи розв’язування деяких типів діофантових рівнянь – це складні питання шкільної математики. Задачі на подільність цілих чисел нестандартні і тому їх розв’язання викликає труднощі в учнів.
Вивчення даної теми надає учням досвід роботи на рівні підвищених вимог, що сприяє розвитку їх навчальної мотивації; дає можливість ширше і глибше вивчати програмний матеріал. Також подібні задачі та теоретичні відомості необхідні для оволодіння методами розв’язування олімпіадних та конкурсних задач.
В робота розглянуто діофантові рівняння першого степеня з двома змінними, знаходження частинного та загального розв’язків; способи знаходження частинних розв’язків: спосіб розв’язування підбором, спосіб підстановки; застосування алгоритму Евкліда до розв’язування рівнянь; діофантові рівняння вищих степенів; метод розкладу на множники; метод розв’язування рівнянь з двома змінними як квадратних відносно однієї із змінних; метод цілої та дробової частини; розв’язування задач за допомогою рівнянь в цілих числах; розв’язування олімпіадних та конкурсних задач.
Рівняння виду , де - многочлен декількох змінних з цілими коефіцієнтами для яких потрібно знайти цілі розв’язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім’ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н.е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач з цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв’язків.
Розв’язати діофантове рівняння означає:
Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв’язувати ще до Діофанта.
Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має один цілий розв’язок , то його буде задовольняти нескінченна множина пар виду , де - будь яке ціле число.
Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв’язання деяких рівнянь другого степеня виду . Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел , що задовольняють рівняння . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами , - натуральні числа причому .
В 20 роки ХХ століття англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння більш високого степеня, ніж третього, можуть мати лише скінченне число цілих розв’язків. Ця гіпотеза була в 1983 році доведена голландським математиком Фалтінгсом.
Рівняння виду де - числа, а - змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв’язання рівняння застосовують наступні теореми.
Теорема 1. Якщо - взаємно прості числа, то для будь якого цілого , рівняння має хоча б один розв’язок в цілих числах.
Теорема 2. Якщо мають спільний натуральний дільник , а ціле число не ділиться на , то рівняння не має розв’язків в цілих числах.
Теорема 3. Якщо взаємно прості числа, то рівняння має нескінченну кількість розв’язків, які знаходять за формулами , де - будь який цілий розв’язок даного рівняння, .
Частинний розв’язок можна знайти підбором, для малих , а у випадку коли числа великі, то користуємось наступною теоремою.
Теорема4. НСД( ) може бути записаний у вигляді , де цілі числа. знаходимо за алгоритмом Евкліда.
Розв’язати в цілих числах
№ 1.
Розв’язання
Так як НСД(13,21)=1, то дане рівняння має безліч розв’язків. Підбором встановлюємо частинний розв’язок .
Тоді загальний розв’язок має вигляд .
Відповідь: .
№ 2.
Розв’язання
Так як НСД(45;37)=1, то рівняння має безліч розв’язків.
Щоб знайти застосуємо алгоритм Евкліда:
. Отже .
Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:
Отже (14;17) частинний розв’язок рівняння .
Тоді тобто .
Отже всі розв’язки знайдемо за формулами .
Відповідь: .
№3. (8-9). Ст 78. Розв’язати в цілих числах рівняння
.
Вказівка: використати алгоритм Евкліда для чисел 201 і 1999.
Відповідь: загальний розв’язок .[1]
№ 4. (8-9). Ст 78. Розв’язати рівняння в цілих числах.
Розв’язання
Доберемо конкретний розв’язок. Наприклад . Тоді , звідки , . Оскільки числа 5 і 7 взаємнопрості, то , . Отже, загальний розв’язок .
Відповідь: загальний розв’язок [1]
Рівняння виду , де - числа, - змінні, називають лінійним діофантовим рівнянням першого степеня з трьома змінними.
Теорема 5. Лінійне діофантове рівняння має розв’язки в цілих числах тоді і тільки тоді, коли ділиться на НСД( ).
Розв’язки знаходять за формулами , де - частинний розв’язок.
№5.
Розв’язання
Так як НСД(5;-3;-7)=1 і 0ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;7)=1 , то можна представити де - деякі цілі числа. Підбором знаходимо, що
Підставимо в умову замість .
Маємо , то ,
Нехай , тоді маємо рівняння: , частинний розв’язок якого . Отже, загальний його розв’язок Тепер Знаходимо загальний розв’язок данного рівняння: .
Відповідь: .
№ 6.
Розв’язання
Так як НСД(7,-3,9)=1 і 5 ділиться на 1 то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(7;-3)=1, то можна представити де - деякі цілі числа. Підбором знайдемо, що Підставимо в умову замість 9.
Маємо: .
Нехай тоді маємо рівняння , частинний розв’язок якого .
Отже, загальний його розв’язок .
Тепер
Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння
Відповідь:
№ 7. На складі лежать цвяхи, упаковані в ящики по 16 кг, 17 кг і 40 кг. Чи може комірник відпустити 140 кг цвяхів, не відкриваючи ні одного ящика?
Вказівка: Рівняння .
Відповідь:
№ 1. (8-9). Ст 77. Знайти всі пари цілих чисел (x,y), що задовольняють рівняння .
Розв’язання
Запишемо рівняння і вигляді . Оскільки x,y – цілі числа, то можливі такі випадки:
а)
в) г)
Розв’язавши
ці системи, маємо такі розв’
Відповідь: (3;-2), (5;2), (-3;2), (-5;-2).[1]
№ 2. (8-9). Розв’язати рівняння в цілих числах
Розв’язання
Дане рівняння запишемо у вигляді . Існує 12 різних способів розкладання числа 2007 на множники:
В даному випадку легко помітити, що якщо пара (x, y) задовольняє даному рівнянню, то йому задовольняють і пари: (-x; -y), (-x; y), (x; -y). Тому достатньо шукати розв’язки серед невід’ємних цілих чисел. Маємо
або або
Звідки маємо пари розв’язків: (336; 333), (116; 107), (1004; 1003). Враховуючи (-x; -y), (-x; y), (x; -y), маємо розв’язки даного рівняння:
(336; 333), (116; 107), (1004; 1003), (-336; -333), (-116; -107), (-1004; -1003), (-336; 333), (-116; 107), (-1004; 1003), (336; -333), (116; -107), (1004; -1003).
Відповідь: (336; 333), (116; 107), (1004; 1003), (-336; -333), (-116; -107), (-1004; -1003), (-336; 333), (-116; 107), (-1004; 1003), (336; -333), (116; -107), (1004; -1003). [2]
№ 3. (7-8). Розв’язати рівняння в цілих числах .
Розв’язання
Перепишемо рівняння у вигляді . Розкладемо на множники ліву частину рівняння.
; ;
Можливі
випадки:
або або або
Маємо
розв’язки систем: , але пари та не задовольняють
умові рівняння, так як .
Отже розв’язки рівняння (2; 0); (-1; 0).
Відповідь: (2; 0); (-1; 0). [2]
№ 4. (7-8). Розв’язати рівняння в цілих числах .
Розв’язання
Розкладемо на множники ліву частину рівняння:
Можливі випадки:
або або або
Маємо
розв’язки рівняння: (-1; -2); (5;2); (1;2); (-5; -2).
Відповідь: (-1; -2); (5;2); (1;2); (-5; -2). [2]
№ 5. (8-9). Розв’язати рівняння в цілих числах
.
Розв’язання
Розкладемо ліву частину рівняння на множники:
Можливі випадки:
або або або
Маємо розв’язки систем: , але задовольняє лише (1; 1). Отже, пара (1; 1) - розв’язок рівняння.
Відповідь: (1; 1). [2]
№ 1. (7-8). Розв’язати рівняння в цілих числах .
Розв’язання
Запишемо рівняння у вигляді:
.
; Þ
З дробу виділимо цілу й дробову частини.
Маємо
Так як , то й або
Звідки
знаходимо пари цілих розв’язків. (-1; 2);
(3; 0); (3; 6); (-1; -4).
Відповідь: (-1; 2); (3; 0); (3; 6); (-1; -4). [2]
№ 2.
Розв’язання
Розв’яжемо дане рівняння відносно :
;
З дробу виділимо цілу й дробову частини.
Маємо
Так як то , звідки знаходимо дві пари цілих розв’язків: .
Відповідь: .
№ 3. .
Розв’язання
Запишемо рівняння у вигляді:
З дробу виділимо цілу й дробову частини.
Маємо
Так як то й або .
Звідки знаходимо пари цілих розв’язків. .
Відповідь: .
№ 4. .
Розв’язання
Розв’яжемо дане рівняння відносно :
З дробу виділимо цілу та дробову частини.
Маємо:
Так як , то або або або , звідси знаходимо дві пари цілих розв’язків .
Відповідь: .
№ 5. .
Розв’язання
Розв’яжемо дане рівняння відносно :
З дробу виділимо цілу й дробову частини.
Маємо .
Так як , то або .
Звідси знаходимо пари цілих розв’язків:
Відповідь:
Висновок
В роботі розглянуто необхідні теоретичні відомості, модифікації діофантових рівнянь: лінійні діофантові рівняння, діофантові рівняння вищих поядків. Методи розв’язування діофантових рівнянь: метод розкладу на множники, метод розв’язування рівнянь з двома змінними як квадратних відносно однієї із змінних, метод цілої та дробової частин.
Дана тема вдосконалює математичну культуру учнів, розширює та поглиблює їх знання з математики, розвиває логічне мислення, алгоритмічну культуру, пізнавальний інтерес, творчі здібності школярів, готує учнів до участі в математичних олімпіадах і конкурсах.
Тема важлива для вивчення як додатковий курс, адже дозволяє навчити учнів розв’язувати нестандартні задачі, розвиває їх математичний апарат, який необхідний для участі у математичних олімпіадах.
Список використаної літератури