Декартова система координат

 Циліндричні координати

Точка P накреслена в циліндричній системі координат.

Детальніше: Циліндрична система координат

Циліндрична система  координат, грубо кажучи, розширює пласку полярну систему додаванням третьої  лінійної координати, що має назву висоти і дорівнює висоті точки над нульовою площиною подібно до того, як Декартова система розширюється на випадок 3-х вимірів. Третя координата зазвичай позначається як z, утворюючи трійку координат (ρ, φ, z).

Трійку циліндричних координат можна перевести в  Декартову систему наступними перетвореннями:

Сферичні координати

Точка накреслена в сферичній  системі координат.

Також полярні координати можна розширити на випадок трьох  вимірів шляхом додавання кутової  координати θ, що дорівнює куту повертання від вертикальної вісі z (називається зенитом або широтою, значення знаходяться в інтервалі від 0 до 180°). Тобто, сферичні координати, це трійка (r, θ, φ), де r — відстань від центру координат, φ — кут від осі x (як і в пласких полярних координатах), θ — широта. Сферична система координат подібна до географічної системи координат для визначення місця на поверхні Землі, де початок координат співпадає з центром Землі, широта δ є доповненням θ і дорівнює δ = 90° − θ, а довгота l обчислюється за формулою l = φ − 180°.^[19]

Трійку сферичних  координат можна перевести в  декартову систему наступними перетвореннями:

 Узагальнення на n вимірів

Полярну систему  координат можна розширити на випадок n-вимірного простору. Нехай  ,  — координатні вектори n-вимірної Декартової системи координат. Необхідні координати в n-вимірній полярній системі можна вводити як кут відхилення вектора від координатної осі x_{i + 2}.

Для переведення  узагальнених n-вимірних полярних координат  в Декартові можна скористатись наступними формулами:

Як можна показати, випадок n=2 відповідає звичайній полярній системі координат на площині, а n=3 звичайній сферичній системі координат.

Якобіан перетворення полярних координат в Декартові матиме вигляд:

Де n-вимірний елемент  об'єму матиме вигляд:

 Застосування

Полярна система  координат двовимірна і тому може застосовуватись лише в тих випадках, коли місцезнаходження точки визначається на площині, або для випадку однорідності властивостей системи в третьому вимірі, наприклад, при розгляді течії  в круглій трубі. Найкращим контекстом застосування полярних координат є  випадки, що сильно пов'язані з напрямом та відстаню від деякого центру. Наприклад, в наведених вище прикладах  видно, що простих рівнянь в полярних координатах достатньо для визначення таких кривих як спіраль Архімеда, рівняння яких в декартовій системі  координат набагато складніше. Крім того, багато фізичних систем — таких, що містять тіла, що рухаються навколо центру, або явища, що розповсюджуються з деякого центру — набагато простіше моделювати в полярних координатах. Причиною створення полярної системи координат було дослідження орбітального та руху по колу.

Позиціонування та навігація

Полярну систему  координат часто застосовують в навігації, оскільки пункт призначення можна задати як відстань та напрям руху від відправної точки. Наприклад, в авіації, для навігації застосовують трохи змінену версію полярних координат. В цій системі, що зазвичай використовується для навігації, промінь 0° називають напрямком 360, а кути відраховуються в напрямку за годинниковою стрілкою. Напрямок 360 відповідає магнітній півночі, а напрями 90, 180, та 270 відповідають магнітним сходу, півдню та півдню.^[20] Так, літак, що летить 5 морських миль на схід можна описати як літак, що летить 5 одиниць в напрямі 90 (центр керування польотами назве його найне-зіро).^[21]

Моделювання

Фронт потужності звукової хвилі  промислового гучномовця показаний в сферичних полярних координатах при шістьох частотах.

Системи з радіальною симетрією дуже добре підходять  для описання в радіальних координатах, де полюс системи координат співпадає  з центром симетрії. В якості прикладу можна навести рівняння току ґрунтових  вод у випадку радіально симетричних  колодязів. Системи з центральними силами також підходять для моделювання  в полярних координатах. До таких  систем належать гравітаційні поля, що підпорядковуються закону зворотньо-квадратичної залежності, так і системи з  точковими джерелами енергії, такі як радіо-антени.

Тривимірне моделювання звуку гучномовців може використовуватися для прогнозування їхньої ефективності. Необхідно зробити декілька діаграм в полярних координатах для широкого діапазону частот, оскільки фронт істотно змінюється в залежності від частоти звуку. Полярні діаграми допомагають побачити, що багато гучномовців із пониженням частоти звуку втрачають направленість.

У полярних координатах  також прийнято представляти характеристику направленості мікрофонів, що визначається відношенням чутливості Мα при падінні звукової хвилі під кутом α відносно акустичної осі мікрофона до його осьової чутливості: φ = M_α/M₀