Дискретное преобразование фурье

       

        (2.6)

дискретное  преобразование Фурье от определит соотношение:

       

                 (2.7)

       Примем c учетом (2.6)

       

                   (2.8)

       Цифровая  модель голограммы Фурье будет иметь вид

       

                   (2.9)

где

       

.                (2.10)

       Величину  можно интерпретировать как коэффициент двойного ряда Фурье от дискретной функции, заданной на двумерном интервале MN . При этом в уравнении голограммы последнее слагаемое является не чем иным, как косинусным коэффициентом Фурье   изображения предмета. С учетом изложенного уравнение цифровой голограммы Фурье, удобное для расчетов на ЭВМ, принимает вид:

       

                 (2.11)

       Здесь в общем случае имеем 

       

            (2.12)

       

              (2.13)

       

                (2.14)

       В двух первых формулах последние члены  в прямоугольных скобках используются при наличии рассеивателя со случайной фазой. Если рассеиватель не используют, то они равны нулю и формула упрощается.

       При компьютерном расчете структуры  голограммы исходной информацией является изображение, которое разбивают  на отдельные участки в соответствии с выбранной сеткой (т.е. из изображения делают выборку значений Еmn в узлах сетки), а также задаваемые параметры M, N, kГ,  , . В результате расчета должны быть получены величины  прозрачности голограммы в узлах сетки  .

       Основой вычисления является выполнение ДПФ причем двумерное преобразование выполняется в два этапа: сначала по строкам, а затем по столбцам. Последовательность вычислений показана на рисунке 2.2. Для выполнения одномерных преобразований используется алгоритм БПФ.

         В результате двойного БПФ  получают коэффициенты  и  по которым и определяют значения  . Результаты вычислений вместе с заданными параметрами используют для расчета прозрачности голограммы по ее формуле. Эти значения и выдает машина.

       Отпечатанную  цифровую голограмму затем фотографируют  с соответствующим уменьшением  и используют для восстановления изображения оптическим путем. Очень часто голограмму Фурье представляют в двоичном (бинарном) виде. В этом случае ее прозрачность имеет только два значения: 0 или 1.

       Двоичную  голограмму рассчитывают следующим  образом. Прозрачность голограммы как  функцию пространственных частот обозначим  через  . Выберем некоторый порог . Если  больше или равно , то величине  сопоставим единицу, в противном случае– нуль. Это возможно записать как

       

    (2.15)

       В данном случае 1 соответствует уровню белого, а 0 - черного. Окончательно получим 

           (2.16)

       где

       В выборе параметров и  имеется определенный произвол. В общем случае их увеличение приводит к снижению доли высоких пространственных частот в голограмме. Сама же двоичная голограмма в большой степени подчеркивает высокие пространственные частоты.  
 
 

         

       2.2 Спектральный анализ (использование ДПФ в среде MathCAD) 

       Мощным  инструментом обработки данных, определенных дискретной зависимостью или непрерывной функцией , является спектральный анализ, имеющий в своей основе интегральные преобразования. Спектральный анализ используется как в целях подавления шума, так и для решения других проблем обработки данных [7].

       Спектром  совокупности данных называют некоторую функцию другой координаты (или координат) , полученную в соответствии с определенным алгоритмом. Примерами спектров являются, рассматриваемые в данной работе, преобразования Фурье, а также вейвлет-преобразования. 

       2.2.1 Дискретное преобразование Фурье действительных функций 

       Огромный  пласт задач вычислительной математики связан с расчетом интегралов Фурье для функций, либо заданных таблично (например, представляющих собой результаты какого-либо эксперимента), либо функций, проинтегрировать которые аналитически не удается. В данном случае вместо символьных преобразований приходиться применять численные методы интегрирования, связанные с дискретизацией подынтегральной функции и называемые, поэтому ДПФ.

       Математический  смысл преобразования Фурье состоит  в представлении сигнала y(x) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(ω) cos(ωx). Функция F(ω) называется преобразованием Фурье, или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент ω имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(ω) в  исходный сигнал y(x).

       В численном процессоре MathCAD ДПФ реализовано при помощи БПФ. Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях MathCAD, различающихся только нормировками [7]:

• fft(y) – вектор прямого преобразования Фурье
• FFT(y) – вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке
• ifft(ω) – вектор обратного преобразования Фурье
• IFFT(ω) - вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке

       Где y – вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента; ω - вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

       Примечания[5,8]:

       1. Аргумент прямого ДПФ, т. е. вектор у, должен иметь ровно элементов (n - целое число). Результатом является вектор с элементами. И наоборот, аргумент обратного ДПФ должен иметь элементов, а его результатом будет вектор из элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями, в противном случае вычисления производиться не будут, а будет всплывать сообщение об ошибке .

       2. Аргумент обратного ДПФ, т.е. вектор ω, может быть как действительным, так и комплексным. А вот результат работы данных функций является вектором, составленным из действительных чисел. Если аргумент является N-компонентным вектором , где , то в результате получается в два раза больший вектор из компонент.

       3. Элементы вектора, возвращаемого функцией fft(y), соответствуют формуле:

       

                                            (2.17)

       Здесь n - число элементов вектора y, i- мнимая единица, - индекс суммирования и j- номер гармоники. Эти элементы вектора соответствуют следующим частотам:

         где  - частота квантования сигнала, который подвергается БПФ. Элементы вектора, возвращаемого функцией fft(v) – это в общем случае комплексные числа, даже если сигнал представлен вещественными отсчетами.

             4. Функция ifft(ω) вначале создает вектор w, комплексно-сопряженный с ω, и затем присоединяет его к вектору ω . После этого вычисляется вектор d c элементами, рассчитанными по следующей формуле:

       

                            (2.18)

             5. Функции fft(y) и ifft(y) дают точные (в пределах погрешности численных расчетов) обращения. При этом ifft(fft(y))=y, что можно использовать для проверки преобразований. Если же в качестве аргумента функции ifft использовать модуль Фурье-спектра, то профиль исходного сигнала будет реконструирован   правильно, но окажется сдвинутым на определенное расстояние вдоль оси х. Так происходит из-за того, что взятие абсолютной величины комплексного спектра уничтожает информацию об относительной фазе отсчетов данных.

             6. Рассмотренные выше функции основаны на обычных формулах преобразований Фурье. Однако существуют и альтернативные формы такого преобразования, две из которых показаны ниже:

       

                       (2.19)

       

                                                 (2.20)

       Вместо  множителя  перед обоими выражениями перед первым выражением стоит множитель , а перед вторым -1. Знак «минус» перед показателем степени  имеется только в первой формуле (его нет во второй). Альтернативные формулы преобразований Фурье используются в функциях FFT(y), IFFT(y). В остальном использование этих  функций не отличается от аналогичных функций  fft(y) и ifft(y). 

Пример 2.1 Вычисление ДПФ для действительной функции:

         
 
 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 2.3 -График функции  
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 2.4 - График прямого ДПФ для функции  

       В данном примере рассматривается ДПФ для модельной функции , представляющей собой сумму трех синусоид разной амплитуды (рис. 2.3). Расчет проводится по точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных равен h. - значения частот в текущей точке i. Полученный график ДПФ показан на рисунке 2.4. Стоит отметить, что результаты расчета представляются в виде модуля ДПФ, поскольку само оно является комплексным.

       Замечание: при ДПФ действительных функций используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля и выводят только одну половину. 
 
 
 
 
 

       2.2.2 Дискретное преобразование Фурье комплексных данных 

       Алгоритм  БПФ для комплексных данных встроен в функции соответствующие функциям ДПФ действительных данных, в имя которых входит литера "c" [8].

• cfft (у) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье
• CFFT (у) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
• icfft (у) - вектор обратного комплексного преобразования Фурье
• ICFFT (ω) - вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке

       у - вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;    ω - вектор данных Фурье-преобразования, взятых через равные промежутки значений частоты.

       Вычисление  ДПФ для комплексных данных в  среде MathCAD аналогично вычислению для действительных.