Елементи комбінаторики

      é Не так просто вибрати спосіб міркування для цієї задачі. "Розкручувати" її будемо поступово, за кілька послідовних кроків:

1. вибираємо, в які саме вагони сядуть по 4 пасажири ( , а не , бо порядок вибору не має значення );
2. з решти двох вагонів вибираємо ще, наприклад, той куди сядуть троє ( способів 2= ). Тепер нам відомо, в який вагон скільки пасажирів сяде. Починаємо їх розміщувати:
3. вибираємо 4 пасажири для одного з вагонів, де їх буде саме стільки: способів .

4), 5), 6) аналогічно: способів  , .

За основним принципом комбінаторики відповідь: .        

      Зауваження.    В цій    задачі не можна було б міркувати так: 1) виберемо, куди сяде перший пасажир - 4 способи; 2) … . Основний принцип комбінаторики тут не спрацював би, бо кількість способів для наступних етапів була б різною в залежності від того, як виконано попередні. 

3.Задачі на класичне означення ймовірності.

      Якщо  в умові задачі є слово "ймовірність", це вже не комбінаторна задача; але  швидше за все комбінаторика знадобиться. Перше, що потрібно зробити - з’ясувати  для себе, в чому полягає так  званий стохастичний експеримент задачі. Як правило, він описаний на початку  умови і результат його неможливо  взнати заздалегідь. Після цього  потрібно визначити, якими  можуть бути  результати експерименту і як їх можна  задати (наприклад, у вигляді розміщень  або комбінацій символів, щоб зручно було застосовувати комбінаторику), причому вони всі повинні бути однаково можливими. Тепер треба  визначити загальну можливу кількість  N результатів, або наслідків, а також скільки з них (K) є спиятливими для даної події А. Тут і буде корисною комбінаторика. Залишається поділити друге число на перше: .

      Приклад.  В групі 10 білявих та 15 чорнявих студентів. Навгад за списком вибирають двох. Яка ймовірність того, що з вибраних студентів один білявий та один чорнявий?

      Експеримент - відбір двох студентів з 25, кількість  рівноможливих результатів . Сприятливих буде , тому що потрібно вибрати для цього одного білявого й одного чорнявого.

      Відповідь: .          Приклад.  В групі k студентів. Знайдіть ймовірність того, що якісь дні народження збігаються.

      Стохастичний  експеримент задачі доводиться будувати самим, наприклад, як з’ясування днів народження першого, другого, …, k -го студента за списком. Способів маємо (29 лютого не враховується для спрощення). Кількість способів, коли якісь дні народження збігаються, безпосередньо порахувати важко; наприклад, правило добутку тут застосувати неможливо (переконайтесь у цьому). Застосуємо прийом "доповнення": решта варіантів - це ті, в яких всі дні народження різні, і їх . Тому відповідь .

Цікаво, що вже  при  k=23    , в що важко повірити недосвідченій людині. Спробуйте перевірити, що у випадковій аудиторії більше ніж з 23 осіб ймовірність співпадання днів народження досить велика, більша за 50%. 
 
 

4.Задачі на операції з множинами.

      З кожним стохастичним експериментом  пов’язують простір елементарних подій W - сукупність можливих наслідків експерименту. Всі випадкові події, пов’язані з даним стохастичним експериментом - підмножини в W ( тобто деякі набори можливих результатів). Тому теорія ймовірностей і теорія множин мають багато спільного: втім, вони говорять одне і те ж різними словами, що видно з такої таблиці:

 
 

      Приклад 8.  Нехай  А, В і С - довільні події. Що означають наступні події:

    ?

      Перша подія, очевидно, означає, що в результаті проведення стохастичного експерименту подія А не відбулася, а В і  С - відбулись. Друга подія означає, що і А, і В, і С не відбулись, іншими словами - жодна. Третя подія  означає, що хоча б одна з подій  А, В і С не відбулась, інакше кажучи – не всі відбулись; четверта - що відбулась рівно одна з подій  А, В, С, а дві інші не відбулись; п’яту  подію можна виразити так: не відбулось  не менше двох подій з А, В і  С, або, що те ж саме, відбулось не більше однієї з цих подій.            

      Приклад 9.   Гральний кубик підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події: А - сума очок, які з’явились, дорівнює 8; В - принаймі один раз з’явилось 6 очок. Що собою являє подія А Ç В?

      Простір елементарних подій, або сукупність можливих наслідків експерименту,  очевидно, можемо записати як набір  усіх можливих впорядкованих пар  чисел  від 1 до 6 (перше число в  парі - те, що випало при першому киданні  кубика, друге - при другому). Отже,

W={ (1;1); (1;2); (1;3); …; (6;5); (6;6) }. Всього, очевидно, 36 різних елементів. Подію А задаємо перерахуванням елементів, які її складають:

А={сума очок дорівнює 8}={ (2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2) }.

Аналогічно В={ (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6); (1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6) }.

Подія АВ складається  з двох елементів, які входять  і в А, і в В: АВ={(2,6); (6,2)}.

      Це можна було б з’ясувати і безпосередньо з умови задачі: якщо здійснилась і подія А, і подія В, то на одному кубику повинно бути 6 очок, а на іншому, відповідно, 8-6=2. 
 

5.Задачі на застосування аксіом теорії ймовірностей

      Коли  виникла необхідність втиснути в  рамки логічної і стрункої схеми  теорію ймовірностей (до того вона базувалась більше на інтуітивних міркуваннях), А.Н. Колмогоровим було введено систему з 6 аксіом. Їх повинні були задовольняти такі об’єкти: Ω (простір елементарних наслідків), Р (ймовірність). Оскільки виявилось, що не можна усяку підмножину з Ω вважати випадковою подією, було введено окремо набір випадкових подій F. Тобто, "Ає F" еквівалентно "А-випадкова подія".

      Пояснити суть аксіом можна так. Перші три аксіоми означають, що набір F повинен задовольняти елементарні вимоги:1) все Ω є випадковою подією; 2) якщо якась підмножина з Ω входить в F, тобто А- випадкова подія, то "А не здійснилась" теж випадкова подія, тобто ; 3) якщо А₁, А₂, … - випадкові події, то є випадковою подія " здійснилась хоча б одна з подій  А₁, А₂, …".

      Друга група з трьох аксіом відноситься до поняття ймовірності: вони повністю узгоджуються з класичним та частотним означеннями ймовірності. Якщо вважати, що ймовірність події А –це число, що дорівнює її середній частоті за багато повторень експерименту, то аксіоми говорять: 1) це число невід’ємне і визначене для кожної випадкової події А (тобто Ає F); 2) середня частота Ω (достовірної події) дорівнює 1; 3) якщо події           А₁, А₂, … є несумісними, то середня частота їх об’єднання дорівнює сумі середніх частот. Дійсно, оскільки несумісні події можуть відбуватися тільки по одній, то відповідні кількості треба просумувати.

      Шість аксіом теорії ймовірностей становлять її міцну базу. Їх застосовують при розв’язанні багатьох задач.

      Приклад. Довести, що якщо А і В – випадкові події, то і - випадкова подія і Р( )=Р(А)+Р(В)-Р( ).

      Переформулюємо перше наше завдання так: якщо Ає F і ВєF, то є F. В аксіомах цього прямо не записано, але це не важко довести. Справді, , тобто . Оскільки Ає F і ВєF, то і (аксіома 2), тоді (аксіома 3), і звідси (знову аксіома 2), що й потрібно було довести.

      Далі, подію  можна подати як об’єднання трьох несумісних подій: “ А відбувається, В ні “, “ В відбувається, А ні “, “відбуваються і А, і В “, тобто

, і аналогічно

, .

Застосовуємо  аксіому 6:

,

,

.

З цих рівностей  неважко одержати потрібну формулу.

      Приклад. Нехай А і В – випадкові події, Р₀ – ймовірність того, що не відбудеться жодна з них, Р₁ – що відбудеться рівно одна, Р₂ –що відбудуться обидві. Виразити Р₀, Р₁, Р₂ через Р(А), Р(В), .

      Очевидно, Р₂= . Далі, доповненням до події є подія , ймовірність якої є шукана Р₀, тобто 1-Р( )=Р₀ і з попередньої задачі Р( )=Р(А)+Р(В)-Р( ); отже, Р₀=1-Р(А)-Р(В)+ .

      Знаючи  тепер Р₀ і Р₂ , можна легко знайти Р₁; справді, сума Р₀+Р₁+Р₂ повинна дорівнювати одиниці як сума ймовірностей трьох несумісних подій, об’єднання яких є W; отже, . 
 

6.Задачі на умовні ймовірності і незалежні події

      Умовною ймовірністю події А відносно події В називають число 

, при Р(В)¹0.

Щоб знайти його, отже, треба з’ясувати, що являє  собою подія  , знайти ймовірності її та події В і поділити.

      Умовну  ймовірність можна розуміти так: є інформація про те, що в результаті експерименту подія В відбулась. Яка за цієї умови ймовірність  події А? Це і є Р(А/В).

      В задачах часто застосовують очевидну формулу

 та її узагальнення .

      Далі, якщо ймовірність події А залишається  незмінною, чи береться вона при умові  В, чи без такої умови, то природно називати А незалежною від В. Так  буде, якщо виконуватиметься рівність ;

Видно, що й В  тоді незалежна від А; коротко  кажуть, що А і В незалежні. Аналогічно визначається незалежність кількох  подій, а саме: події А₁,А₂, …, А_n називаються незалежними в сукупності, якщо ймовірність перетину будь-якого числа з них дорівнює добутку відповідних ймовірностей: . Зауважимо, що для такої незалежності недостатньо попарної незалежності подій.

      Приклад . Підкидають два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що випаде хоч раз 6 очок, якщо відомо, що сума очок, що випали, не менша за 9.

      Конструкція "ймовірність…якщо відомо…", або  інакше: "ймовірність … за умови, що…" ясно вказує на умовну ймовірність. Очевидно, потрібно знайти Р(А/В), де А  – подія "випаде хоч раз 6 очок", В – "сума не менша за 9".

      В прикладі 9  ми вже з’ясували, який стохастичний експеримент, і знайшли  кількість (36) рівноможливих наслідків, що складають Ω. З цих результатів подія А є об’єднання рівно одинадцяти: (6,1); (6,2); …; (6,6); (1,6);…; (5,6), а подія В – восьми: (4,5); (5,4); (4,6); (5,5); (6,4); (5,6); (6,5); (6,6).

      Подія складається з п’яти випадків, що входять і в А, і в В: (4,6); (6,4); (5,6); (6,5); (6,6). Отже, .

      Приклад 13. З урни, що містить білих та чорних куль, послідовно виймають дві кулі (без повернення). Знайти ймовірність того, що друга куля біла, якщо відомо, що перша куля біла.

      Нам потрібно знайти Р(А/В), де А є подія "друга куля біла", В – подія "перша куля біла".  

7.Випробування Бернуллі. Наближені формули для .