Евклідові кільця

Ідеал I₁ складений з елемента а = {аk| kÎK}Þ b=a·k, kÎK тоді і тільки тоді, коли b a.  Отже, a b.

Достатність. Нехай a b Þ а b і b a Þ a=bq, b=a, q, ÎK.

Нехай x – довільний елемент а, тоді x=a·r, rÎK,  x= bqr = b, ÎK

Отже, xÎ( I₂) тоді і тільки тоді, коли (I₁) Í ( I₂).

Нехай  у – довільний  елемент b, тоді у = b, ÎK,  y = a = a, ÎK

Отже, y Î( I₁). Таким чином (I₂) Í ( I₁).

Отже, (I₁) = (I₂). Теорему доведено.

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 2. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

1. Подільність в області цілісності

Нехай R – область  цілісності з одиницею. Оскільки область  цілісності – комутативне кільце, то в ній поняття правого і  лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності  формулюється так:

Означення 2.1. Якщо для елементів а і b області цілісності R  існує такий елемент сÎR, що а = b·с, то говорять, що а ділиться на b або b ділиться на а.

Властивості подільності в області цілісності:

1. "(a, b, cÎR) [aM bÙbM cÞaM c].

2. "(a, b, cÎR) [aM cÙbM cÞ(a+b)M c Ù(a-b)M c].

3. "(a, b, cÎR) [aM b Þ acM b].

4. "(a_1, b_1, a_2, b_2,…, a_n, b_n, cÎ R) [a₁ M cÙa₂ M c Ù… Ùa_nM c Þ (a₁b₁ +a₂ b₂ + … + +a_n b_n) M c].

5. Кожен елемент аÎ R ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε^-1а) і, отже, εMа.

6. Якщо а Î R ділиться на bÎ R, то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.

7. Кожен з дільників одного з елементів аÎ R і aεÎ R де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Означення 2.2. Елемент сÎ R називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. [4].

За властивістю 5, всі дільники одиниці  області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники.

Означення 2.3. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. [4].

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть d=(а, b).

Означення 2.4. Елементи а, bÎR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1. [4].

Нехай ε – будь-який дільник  одиниці і а – довільний  елемент області цілісності R. Тоді а = аεε^-1. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε є дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними.

Означення 2.5. Ненульовий елемент аÎR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аÎR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники. [4].

Інакше кажучи, елемент  аÎR називається розкладним, якщо його можна записати у вигляді добутку а = bс двох нетривіальних множників b і с; він називається нерозкладним, якщо його не можна записати у вигляді добутку двох нетривіальних дільників, тобто якщо з а = bс завжди випливає, що один з множників b і с є дільник одиниці, а інший – асоційований з а.

Так, у кільці цілих чисел  Z нерозкладними є числа ±2, ±3, ±5,… (тобто числа прості й протилежні простим); всі інші числа, відмінні від ±1 та 0 – розкладні.

 

Властивості простих елементів

1. Якщо елемент рÎR нерозкладний, то і будь-який асоційований з ним елемент рε також нерозкладний. Ця властивість випливає з властивості 7 подільності елементів області цілісності R.

2. Якщо а – будь-який, а р – нерозкладний елемент з R, то або а ділиться               на р, або а і р – взаємно прості.

Справді, якщо (а, р) = d, то d, як дільник нерозкладного елемента р, або є деякий дільник ε одиниці, або елемент вигляду рε. У першому  випадку а і р взаємно прості, в другому – а ділиться на р.

 

2. Кільце головних ідеалів. Факторільні кільця

Означення 2.6. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний. [4].

Приклад.

1) Розглянемо  поле R, в ньому є лише 2 ідеали (0) = {0}, R = (1). Отже, R є кільцем головних ідеалів.

Справді, якщо (а) – головний ідеал R, а ≠ 0, то (а) = {a·r|rÎ R}. Очевидно, що а·а^-1 = 1Î (а) Þ (а) = 1.

2) Кільце цілих чисел Z.

Доведення. Нехай  I – деякий ідеал кільця Z. Якщо I – нульовий ідеал, то I = (0). Якщо ж ідеал I містить число c ≠ 0, то в ньому міститься також число (–c). Одне з чисел c та –c додатне, тому в ідеалі  I містяться натуральні числа. Нехай а – найменше з натуральних чисел, що містяться в I. Тоді для " nÎ Z  маємо   (n·a) Î I, і, отже, (а) Ì I. Покажемо, що і, навпаки, I Ì (а).

Справді, нехай  b – довільне число з ідеалу I. Поділивши b на а, дістанемо     b = a·q + r, 0 ≤ r < a. Оскільки аÎ I, bÎ I, то і r = (b – a·q) Î I. Звідси і з умови 0 ≤ r < a, випливає, що r = а, бо в противному разі a не було б найменшим серед натуральних чисел, що містяться в ідеалі  I. Таким чином, b = a·q; тому bÎ (а), а отже, і I Ì (а). Оскільки (а) Ì I і I Ì (а), то I = (а).

Отже, кільце цілих чисел  Z є кільцем головних ідеалів. Доведено.

Теорема 2.1. Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s – деякі елементи кільця R. [5].

Доведення. Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна.

Нехай а і b – будь-які відмінні від нуля елементи кільця R. Вони породжують ідеал I, який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у – будь-які елементи кільця R. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал I є головний, тобто породжується деяким елементом dÎR: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sÎR), (2)

а = gd + hd (g, hÎR). (3)

З рівності (3) випливає, що d є спільний дільник елементів а і b;

з рівності (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а і b. Отже, d = (а, b). Доведено.

Наслідок 1. Нехай К – кільце головних ідеалів. Довести, що d ~ (a,b) тоді і тільки тоді, коли < d > = < a >+< b >, а ≠ 0, b ≠ 0.

Доведення. Þ Нехай (a,b) = d₁, d ~ d₁. Це можливо лише тоді і тільки тоді, коли d d₁, d₁ d, тобто < d > Ì < d₁ > і < d₁ > Ì < d >. Отже, < d > = < d₁ >,     < d₁ > = < a >+< b >.

Ü Нехай (a,d) = d₁ і < d₁ > = < a >+< b >. З іншого боку, < a >+< b > =     = < d >. Отже, < d₁ > = < d >, тобто < d₁ > Ì < d > і < d > Ì < d₁ >. Тоді d₁ d,     d d₁, тобто d ~ d₁, або d ~ (a,b). Доведено.

Наслідок 2. Нехай К – кільце головних ідеалів. Довести, що k ~ [a,b] тоді і тільки тоді, коли < k  > = < a >Ç< b >, а ≠ 0, b ≠ 0.

Доведення. Þ Нехай [a,b] = k₁ і k₁ ~ k. Тоді k₁ k, k k₁, тобто                < k₁ > Ì < k >, < k > Ì < k₁ >. Отже, < k > = < k₁ >, де < k₁ > = < a >Ç< b >.

Ü Нехай < k > = < a >Ç< b > і [a,b] = k₁. З іншого боку,                            < k₁ > = < a >Ç< b > і < k₁ > = < k >. Отже, < k₁ > Ì < k >, < k > Ì < k₁ >. Тоді k₁ k, k k₁, тобто k ~ k₁, або k ~ [a,b]. Доведено.

 Теорема 2.2. Елементи а і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що rа +sb = 1. [2].

Доведення. Необхідність умови очевидна: якщо а і b – взаємно прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 2.1, в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

Достатність. Припустимо, що в кільці R існують такі елементи r і s, що        rа + sb = 1. З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості. Доведено.

Теорема 2.3. Якщо елемент аÎR взаємно простий з кожним із елементів bÎR і сÎR, то він взаємно простий і з добутком цих елементів. [2].

Доведення. Оскільки а і b – взаємно прості, то, за теоремою 2.2, існують такі r, sÎR, що rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с.

З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів  а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними  дільниками елементів а і с  є лише дільники одиниці, тому і спільними  дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці а, отже, а і bс взаємно прості. Доведено.

Теорема 2.4. Якщо добуток елементів aÎR і bÎR ділиться на елемент   с ÎR, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с. [2].

Доведення. Оскільки а і с – взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що  rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:(аb) r+с (bs) = b. Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с. Доведено.

Теорема 2.5. Якщо елемент аÎR ділиться на кожен з елементів bÎR і сÎR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс. [2].

Доведення. Справді, за умовою теореми, а b, тобто а = bg. Оскільки   а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 2.4, g с, тобто g=cq. Отже, а = (bс) q, тобто аMbс.  Доведено.

Теорема 2.6. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U₀ Ì U₁ Ì U₂ Ì…ÌU_N Ì …. (4) [2].

Доведення. Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R. Справді, якщо aÎb і bÎb, то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b – деякого ідеалу U_l. Тому а і b є елементи ідеалу U_m, де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_mÌb, (а – b)єU_mÌb і для будь-якого rÎR, a·rÎU_mÌb. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k, а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ≥k

Тому (b) = U_k=U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню. Доведено.

Теорема 2.7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення. Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника.

Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁a₂, де a₁ і a₂ – нетривіальні дільники елемента а. Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁=a₁₁a_12, де a₁₁ та a₁₂–нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁. Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів  а, a₁, a₁₁, a₁₁₁,…, (5) у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i, то (a_i+1)Ì(a_i), оскільки a_i=a_i+1r, де r – деякий елемент R. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)Ì(a₁)Ì(a₁₁)Ì(a₁₁₁)Ì…, а це суперечить доведеній вище теоремі. Отже, наше припущення неправильне. Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про  який іде мова в теоремі 2.7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема 2.8. Якщо   a =p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності q_i=ε_i p_i (і =1, 2,…, r), де ε_i – деякий дільник одиниці кільця R.

Доведення. Доводитимемо індукцією по r.

При r = 1 справедливість твердження очевидна. Справді, оскільки елемент а = р₁ простий, то добуток q₁q₂…q_s може містити лише один множник q₁₌p₁.

Припустимо, що теорема правильна  для r – 1 (2 £ r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки a =p₁p₂…p_r і a = q₁q₂…q_s то  p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s (6)

З рівності (6) випливає, що q₁q₂…q_s ділиться на p₁. Тому, принаймні один із співмножників q_1,q_2,…, q_s ділиться на p_i. Вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1,q_2,…, q_s. Оскільки q₁ – простий елемент і ділиться на простий елемент p₁, то q₁=e₁p₁, де e₁ – деякий дільник одиниці кільця R. Підставивши в рівність (6) e₁p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁, дістанемо:  p₂p₃…p_r =(e₁q₂) q₃…q_s.

Але, за індуктивним припущенням, r–1 = s–1 і при відповідній нумерації множників q_1,q_2,…, q_r:  q₂=e₁q₂=e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r,  де e_i – деякі дільники одиниці кільця R. Тому r = s і при відповідній нумерації множників q₁, q₂, …, q_r: q₁=e₁p₁, q₂=e₁^–1e₂p₂ =e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r. Доведено.

Означення 2.7. Факторіальне кільце – це область цілісності R, в якій кожен необоротний елемент  a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁·...·p_n (n≥1), причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо p_i=u_iq_i для всіх i, де u_i - оборотний елемент кільця R. [6].