Фрактал

Фрактал

План:

Введення

       1 Термін

o        1.1 Історія

       2 Класифікація [1]

       3 Приклади

o        3.1 Самоподібних безлічі з незвичайними властивостями в математиці

o        3.2 Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих

o        3.3 Фрактали як нерухомі точки стискаючих відображень

o        3.4 Фрактали в комплексній динаміці

o        3.5 Стохастичні фрактали

o        3.6 У природі

       4 Застосування

o        4.1 Природничі науки

o        4.2 Література

o        4.3 Радіотехніка

       4.3.1 Фрактальні антени

o        4.4 Інформатика

       4.4.1 Стиснення зображень

       4.4.2 Комп'ютерна графіка

       4.4.3 Децентралізовані мережі

       5 Галерея

Примітки
Література

Введення

Безліч Мандельброта - класичний зразок фрактала

Фрактал ( лат. fractus - Подрібнений, зламаний, розбитий) - складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна всьому тілі цілком. У більш широкому сенсі під фракталами розуміють безлічі точок у евклідовому просторі, мають дробову метричну розмірність (в сенсі Минковского або Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної.

Фрактальна форма підвиду цвітної капусти (Brassica cauliflora)

Фрактал - це нескінченно самоподобна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу [1].

Фрактал - самоподобной безліч нецілої розмірності [1].

1. Термін

Слід зазначити, що слово "фрактал" не є математичним терміном і не має загальноприйнятого суворого математичного визначення. Воно може вживатися, коли розглянута фігура володіє якими-небудь з перерахованих нижче властивостей:

       Володіє нетривіальною структурою на всіх масштабах. У цьому відмінність від регулярних фігур (таких, як окружність, еліпс, графік гладкої функції): якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він буде схожий на фрагмент прямій. Для фрактала збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.

       Є самоподобной або наближено самоподобной.

       Володіє дробової метричної розмірністю або метричної розмірністю, яка перевершує топологічну.

Багато об'єктів в природі мають фрактальними властивостями, наприклад, узбережжя, хмари, крони дерев, сніжинки, кровоносна система і система альвеол людини або тварин.

Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютера.

1.1. Історія

Перші приклади самоподібних множин з незвичайними властивостями з'явилися в XIX столітті (наприклад, безліч Кантора). Термін "фрактал" був введений Бенуа Мандельброт в 1975 і отримав широку популярність з виходом в 1977 його книги " Фрактальна геометрія природи ".

2. Класифікація [1]

       Алгебраїчні фрактали

o        Безліч Мандельброта

o        Безліч Жюліана

o        Басейни (фрактали) Ньютона

o        Біоморфи

o        Трикутники Серпінського

       Геометричні фрактали

o        Крива Коха (сніжинка Коха)

o        Крива Леві

o        Крива Гільберта

o        Ламана (крива) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуея)

o        Безліч Кантора

o        Трикутник Серпінського

o        Килим Серпінського

o        Дерево Піфагора

o        Круговий фрактал

       Стохастичні фрактали

       Рукотворні фрактали

       Природні фрактали

       Детерміновані фрактали

       Недетермінірованние фрактали

3. Приклади

3.1. Самоподібних безлічі з незвичайними властивостями в математиці

Починаючи з кінця XIX століття, в математиці з'являються приклади самоподібних об'єктів з патологічними з точки зору класичного аналізу властивостями. До них можна віднести наступні:

       безліч Кантора - ніде не щільне незліченну вчинене безліч. Модифікувавши процедуру, можна також отримати ніде не щільне безліч позитивної довжини.

       трикутник Серпінського і килим Серпінського - аналоги безлічі Кантора на площині.

       губка Менгера - аналог безлічі Кантора в тривимірному просторі;

       приклади Вейерштрасса і Ван дер Варден ніде не диференціюється безперервної функції.

       крива Коха - несамопересекающаяся безперервна крива нескінченної довжини, що не має дотичній ні в одній точці;

       крива Пеано - безперервна крива, що проходить через всі точки квадрата.

       траєкторія броунівський частинки також з імовірністю 1 ніде не дифференцируема. Її хаусдорфових розмірність дорівнює двом.

3.2. Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих

Побудова кривої Коха

Існує проста рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, звану генератором. Далі, замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаної, подібної генератору). У вийшла ламаної знову замінимо кожний відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, в межі отримаємо фрактальну криву. На малюнку праворуч наведено три перші кроки цієї процедури для кривої Коха.

Прикладами таких кривих служать:

       крива дракона;

       крива Коха;

       крива Леві;

       крива Маньківського;

       крива Пеано.

       за допомогою схожої процедури виходить дерево Піфагора.

3.3. Фрактали як нерухомі точки стискаючих відображень

Властивість самоподібності можна математично строго виразити таким чином. Нехай - стискаючі відображення площині. Розглянемо наступне відображення на безлічі всіх компактних (замкнутих і обмежених) підмножин площині:

Можна показати, що відображення Ψ є стискає відображенням на безлічі компактів з метрикою Хаусдорфа. Отже, за теоремі Банаха, це відображення має єдину нерухому точку. Ця нерухома точка і буде нашим фракталом.

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих, описана вище, є окремим випадком даної конструкції. У ній все відображення - Відображення подібності, а n - Число ланок генератора.

Для трикутника Серпінського n = 3 і відображення ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 - гомотетии з центрами у вершинах правильного трикутника і коефіцієнтом 1 / 2. Легко бачити, що трикутник Серпінського переходить в себе при відображенні Ψ .

У випадку, коли відображення ψ i - Перетворення подібності з коефіцієнтами r i> 0 , розмірність s фрактала (при деяких додаткових технічних умов) може бути обчислена як рішення рівняння . Так, для трикутника Серпінського отримуємо s = ln 3 / ln 2 .

З тієї ж теоремі Банаха, почавши з будь-якого компактного безлічі і застосовуючи до нього ітерації відображення Ψ , Ми отримаємо послідовність компактів, що сходяться (в сенсі метрики Хаусдорфа) до нашого фракталу.

3.4. Фрактали в комплексній динаміці

Безліч Жюліана

Фрактали природним чином виникають при вивченні нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями многочлена або голоморфних функції комплексної змінної на площині. Перші дослідження в цій області відносяться до початку XX століття і пов'язані з іменами Фату і Жюліана.

Нехай F (z) - Многочлен, z 0 - комплексне число і розглянемо наступну послідовність:

.

Нас цікавить поведінка цієї послідовності при . Ця послідовність може:

       Прагнути до нескінченності;

       Прагнути до кінцевого межі;

       Демонструвати в межі циклічне поведінка, тобто поведінка виду

       Демонструвати більше складну поведінку.

Безлічі значень z 0 , Для яких послідовність демонструє один конкретний тип поведінки, а також безлічі точок біфуркації між різними типами, часто володіють фрактальними властивостями.

Так, безліч Жюліана на зображенні праворуч - безліч точок біфуркації для многочлена F (z) = z 2 + c , Тобто тих значень z 0 , Для яких поведінка послідовності z n може різко змінюватися при скільки завгодно малих змінах z 0 .

Інший варіант отримання фрактальних множин - введення параметра в многочлен F (z) і розгляд безлічі тих значень параметра, при яких послідовність z n демонструє певну поведінку при фіксованому z 0 . Так, безліч Мандельброта - це множина всіх , При яких z n для F (z) = z 2 + c і z 0 = 0 не прагне до нескінченності.

Ще один відомий приклад такого роду - басейни Ньютона.

Популярно створення красивих графічних образів на основі комплексної динаміки шляхом розфарбовування точок площини в залежності від поведінки відповідних динамічних систем. Наприклад, для доповнення безлічі Мандельброта можна розфарбувати точки в залежності від швидкості прагнення z n до нескінченності (обумовленої, скажімо, як найменший номер n , При якому | Z n | перевищить фіксовану велику величину A ).

Біоморфи - фрактали, побудовані на основі комплексної динаміки і нагадують живі організми.

3.5. Стохастичні фрактали

Рандомізований фрактал на основі безлічі Жюліана

Природні об'єкти часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватися стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних фракталів:

       траєкторія броунівського руху на площині і в просторі;

       межа траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 році Лоулер, Шрамм і Вернер довели припущення Мандельброта про те, що її розмірність дорівнює 4 / 3.

       еволюції Шрамма-Левнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають в критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад, в моделі Ізінга і перколяції.

       різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр. Плазма - приклад використання такого фрактала в комп'ютерній графіці.

Фрактальна монотипія, або стохатіпія - напряму в образотворчому мистецтві, які полягають в отриманні зображення випадкового фрактала.

3.6. У природі

       Бронхіальне дерево

Вид спереду на трахею і бронхи

       Мережа кровоносних судин

       Дерева

4. Застосування

4.1. Природничі науки

У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких, як турбулентний плин рідини, складні процеси дифузії - адсорбції, полум'я, хмари і т. п. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії. У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин).

4.2. Література

Серед літературних творів знаходять такі, які мають текстуальної, структурної або семантичної фрактальної природою. У текстуальних фракталах потенційно нескінченно повторюються елементи тексту:

       неразветвляющееся нескінченне дерево, тотожне саме собі з будь ітерації ("У попа була собака ...", "Притча про філософа, якому сниться, що він метелик, якій сниться, що вона філософ, якому сниться ...", "Помилково твердження, що правдиве твердження , що помилково твердження ... ")

       неразветвляющіеся нескінченні тексти з варіаціями ("У Пеггі був веселий гусак ...") і тексти з наращениями (" Дім, який збудував Джек ").

У структурних фракталах схема тексту потенційно фрактальна:

       вінок сонетів (15 віршів), вінок сонетів вінків (225 віршів), вінок вінків вінків сонетів (2455 віршів)

       "Розповіді в оповіданні" ("Книга тисячі і однієї ночі", Я. Потоцький "Рукопис, знайдений в Сарагосі")

       передмови, що приховують авторство ( У. Еко "Ім'я троянди")

       Т. Стоппард " Розенкранц і Гільденстерн мертві "(сцена з поданням перед королем).

       К. Пріст "Лотерея" (іноді зустрічається під назвою "Підтвердження"): молодий письменник пише роман про своє двійнику з паралельного світу, який в свою чергу пише книгу про своє двійнику з паралельної Всесвіту, складаємо ...

       Б. Олдісс "Доповідь про ймовірність А"

У семантичних і наративних фракталах автор розповідає про нескінченне подобі частини цілому:

       Х. Л. Борхес "У колі руїн"

       Х. Кортасар "Жовтий квітка"

       Ж. перек "Кунсткамера"

4.3. Радіотехніка

4.3.1. Фрактальні антени

Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де була заборонена установка зовнішніх антен на будівлі. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коен заснував власну компанію і налагодив їх серійний випуск.

4.4. Інформатика

4.4.1. Стиснення зображень

Фрактальное дерево

Існують алгоритми стиснення зображення за допомогою фракталів. Вони засновані на ідеї про те, що замість самого зображення можна зберігати стискуюче відображення, для якого це зображення (або деякий близьке до нього) є нерухомою точкою. Один з варіантів даного алгоритму був використаний фірмою Microsoft при виданні своєї енциклопедії, але великого поширення ці алгоритми не отримали.

4.4.2. Комп'ютерна графіка

Ще одне фрактальної дерево

Фрактали широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких, як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і так далі. Існує безліч програм, що служать для генерації фрактальних зображень, см. Генератор фракталів (програма).