Использование выпуклых и вогнутых функций в экономическом моделировании

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

Использование выпуклых и вогнутых функций в экономическом  моделировании

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение 3

Выпуклые и вогнутые функции 4

Квазивыпуклые функции 10

Экономический смысл выпуклости функций 12

Заключение 13

Список  литературы 14

 

Введение

В большинстве задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования. Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы.  В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования.

В течение последних двух десятилетий из нелинейного программирования выделились самостоятельные разделы:

• выпуклое программирование,
• квадратичное программирование,
• целочисленное программирование,
• стохастическое программирование,
• динамическое программирование и др.

 

Задачи выпуклого программирования – это задачи, в которых определяется минимум выпуклой функции (или максимум вогнутой), заданной на выпуклом замкнутом  множестве.

Во многих прикладных задачах оптимизации  область дополнительного значения параметров оптимизации оказывается выпуклым множеством. Например, зависимость эффективности технического устройства от параметров оптимизации является вогнутой функцией.

Аналогичная ситуация характерна и  для функций, описывающих экономические  системы.

В этом реферате я буду рассматривать выпуклые и вогнутые функции и их применение в экономическом моделировании.

 

Выпуклые и вогнутые функции

Часто для решения задач нелинейного  программирования

f(

,…, )→max

 не существует универсальных  методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функции f и разработаны эффективные методы их решения. В частности, ряд таких имеется для решения задач нелинейного программирования при условии, что f - вогнутая (выпуклая) функция и область допустимых решений выпуклая.

Функция f (x), заданная на выпуклом множестве M ⊂ Rn , называется выпуклой,

если для любых x1 , x2 и числа  α, 0 ≤ α ≤ 1 выполняется неравенство

                              f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 )

         Примерный  вид графика выпуклой функции: 

 Его отличительной особенностью является то, что график выпуклой функции лежит под хордой, соединяющей две любые ее точки.

Если равенство достигается  только при α = 0 и α = 1, то называется строго выпуклой.

Замечание: если f(x) строго выпуклая (вогнутая) функция на всем множестве решений R, то f имеет только один относительный минимум (максимум), который является и абсолютным.

    Примерами строго выпуклой функции может служить функция:

  1. y = lx

  2. y = x2

  3. y = sin x, x ∈ [π, 2π]

  4. y = cos x, x ∈ [π/2, 3π/2]

Теорема. Дифференцируемая функция f(x) строго вогнутая в некоторой окрестности точки  , если выполняются следующие условия:

(3.6)

И так далее, то есть если знаки определителей чередуются начиная с < 0, где

Функция f(x) строго выпукла в окрестности точки x₀, если все определители (выписанные выше) положительные.

Имеет место  следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы в точке x₀ достигался внутренний относительный минимум, достаточно, чтобы эта точка была стационарной, а самая функция в окрестности точки x₀ была строго выпуклой.

По определению f (x) является выпуклой, если значение ее от выпуклой комбинации значений аргумента x1 и x2 не больше, чем выпуклая комбинация значений f (x) при этих значениях аргумента.

Геометрически это означает, что хорда, соединяющая  любые две точки графика функции, лежит над дугой, концами которой являются эти точки.

Замечание: для задачи минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве любая точка локального минимума является и точкой глобального минимума.

 

Противоположным по смыслу выпуклости функции является понятие вогнутой функции.

Функция f (x), заданная на выпуклом множестве, называется вогнутой (строго

вогнутой), если g(x) = −f (x) является выпуклой (строго выпуклой) функцией.

Функция f(x) называется вогнутой  на отрезке [a, b], если   выполнено  условие

         Примерный  вид графика вогнутой функции

 

 Его отличительной особенностью  является то, что график вогнутой функции лежит над хордой, соединяющей две любые ее точки.

Отметим еще одно свойство этих графиков: график выпуклой функции лежит над касательной, проведенной к любой ее точке, а график вогнутой функции – под касательной.

Рассмотрим простой пример. Часто для решения таких примеров достаточно определения.

  Функция y = x является выпуклой. Действительно, для любых x1 , x2 ⊂ M имеем

 

y(λx1 + (1 − λ)x2 ) = λx1 + (1 − λ)x2  ≤  λ x1 + (1 − λ) x2 = λy(x1 ) + (1 − λ)y(x2 )

 

Однако часто одного определения выпуклой функции оказывается недостаточно для анализа функции и требуется применение более глубоких свойств, определяющих выпуклость.

Перечислим простые свойства выпуклых функций, наиболее часто используемые в теоретических и практических задачах.

    1. Выпуклые функции непрерывны  во всех внутренних точках области определения.

    2. Каждой выпуклой функции  можно поставить в соответствие множество, называемое  эпиграфом. Часто для выпуклой функции оно называется надграфиком, для вогнутой - подграфиком, и обозначается epi f (x). Если f (x) выпуклая, то epi f (x) = {(x, z) | x ∈ M, z ≥ f (x)}.

 В практических случаях анализ  на выпуклость некоторой функции можно заменить исследованием ее эпиграфа. Эпиграф часто используется при доказательстве различных свойств  выпуклых функций.

    3. Если f(X) – выпуклая (вогнутая)функция, то - f(X) – вогнутая (выпуклая) функция.

    4. Важнейшим свойством  выпуклой функции, широко используемым в практике решения экстремальных задач, является следующее:

Если f (x) — выпуклая функция, то множество

 

                                            G = {x | f (x) ≤ γ, γ = const}

 

      является выпуклым.

    Для вогнутой функции g(x) множество

 

                                            G = {x | g(x) ≥ γ, γ = const}

 

      также является выпуклым.

Замечание:  для задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве любая точка локального максимума является и точкой глобального максимума.

Если функция непрерывна вместе с частными производными первого  порядка, то справедливы свойства:

1. Пусть f(X) - выпуклая (вогнутая) функция, заданная на замкнутом, ограниченном, выпуклом множестве; тогда любой локальный min (max) целевой функции является и глобальным.

Следствие1: Если глобальный min(max) достигается в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соединяющего данные точки.

Следствие2: Если f(X) – строго выпуклая (вогнутая) функция, то ее глобальный min(max) на выпуклом множестве достигается в единственной точке.

 

2. Пусть f(X) – выпуклая (вогнутая) функция, заданная на выпуклом множестве и f(X(0)) = 0. Тогда Х(0) точка глобального min(max).

Критерий Сильвестра

Дважды дифференцируемая функция f(Х) является выпуклой (вогнутой), если матрица Гессе положительно определенная (отрицательно определенная). Элементы матрицы – частные производные по соответствующим переменным:

 

 

 

Пример.

Показать, что  заданная функция является выпуклой (вогнутой)

Z= 2x2 + y2 – xy + 5x - 6y + 8.

Решение:

Z’(x) = 4x – y +5

Z’(y) = -x +2y – 6

Z’’(xx) = 4

Z’’(yy) = 2

Z’’(xy) = - 1

 ∆1 = Z’’(xx) = 4

 

Таким образом, все главные миноры матрицы Гессе строго положительны, функция Z является строго выпуклой при  любых х, у. положительная (отрицательная) определенность матрицы Гессе в стационарной точке является достаточным условием существования в этой точке минимума (максимума).

 

 

Главные миноры равны соответственно: -2, 4, -6. Следовательно, матрица отрицательно определенная, а точка – max.

В общем случае, когда матрица  Гессе неопределенная, стационарная точка является седловой; когда матрица полуопределенная, то для установления характера экстремума необходимы дополнительные исследования.

Таким образом, если целевая функция  является выпуклой (вогнутой) и ограничения удовлетворяют указанным условиям, то мы относим задачу к задачам выпуклого (вогнутого) программирования и выбираем метод ее решения.

    Исходя из этого, следует отметить, что указанным свойством обладают не только выпуклые функции, но и так называемые квазивыпуклые функции.

 

Квазивыпуклые функции

   Определение. Функция f (x) называется квазивыпуклой, если для данных x1 , x2 ∈ и любого

α, 0 ≤ α ≤ 1

                            f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ min{f (x1 ), f (x, 2)}

  Строгое неравенство для 0 < α < 1 определяет строго квазивыпуклую функцию.

К квазивыпуклым также относятся  функции

 

                           f (x) =

 

Эта функция  является вогнутой и квазивыпуклой. Квазивыпуклая функция может  иметь разрыв

первого рода.

Определение. Квазивогнутой  функцией называют функцию f (x) такую, что для любых x1 , x2 ∈

M и Θ, 0 ≤ Θ ≤ 1 верно

                           f (Θx1 + (1 − Θ)x2 ) ≥ min{f (x1 ), f (x2 )}

Как и для выпуклых функций, если f (x) — квазивыпуклая функция, то −f (x) — квазивогнутая.

   Теорема. Функция f (x) квазивогнутая тогда и только тогда, когда множество M = {x | f (x) ≥ j}

выпукло для любой скалярной  величины.

Операция max сохраняет свойство выпуклости. В то же время операция min, вообще

говоря, его не сохраняет. Для того, чтобы операция сохраняла свойство выпуклости, необходимо

накладывать ряд довольно жестких  условий. Например, справедливо утверждение: Функция ϕ =

min f (x, y), x ∈ M , y ∈ G, M — выпуклое множество, G — выпуклый компакт, f (x, y) — выпуклая

по совокупности переменных. При  соблюдении этих условий функция ϕ(x) является выпуклой. Как

видим, здесь требуется выпуклость G и выпуклость f (x, y) уже по совокупности переменных.

Свойства

• Функция  , где   — выпуклое множество, квазивыпуклая тогда и только тогда, когда для всех   множество

Доказательство. Пусть множество X_β выпуклое для любого β. Зафиксируем две произвольные точки   и рассмотрим точку   Точки   при βmax{f(x₁),f(x₂)}. Поскольку множество X_β выпуклое, то , а, значит,   то есть выполняется неравенство, приведённое в определении, и функция является квазивыпуклой.

Пусть функция f квазивыпуклая. Для некоторого   зафиксируем произвольные точки   Тогда  . Поскольку X — выпуклое множество, то для любого   точка  . Из определения квазивыпуклости следует, что  , то есть  . Отже, X_β — выпуклое множество.

• Непрерывная функция  , где X — выпуклое множество в  , квазивыпуклая тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1. f — неубывающая;
2. f — невозрастающая;
3. существует такая точка  , что для всех   функция f невозрастающая, и для всех   функция f неубывающая.

 

Экономический смысл  выпуклости функции

 

Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина , где - приращение ресурса, а - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх.

Закон убывающей полезности: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает.

Функция полезности , где - товар, - полезность, есть величина субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Очевидно, закон убывающей полезности можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх.

Функции, описывающие экономические  системы. Например, рост объема выпускаемой  продукции происходит не прямо пропорционально  капиталовложениям или количеству используемых ресурсов, а с замедлением, причем это замедление часто тем больше, чем больше объема производства. Это приводит к вогнутости так называемых производственных функций, выражающих зависимость объема выпускаемой продукции от израсходованных ресурсов. Наоборот, при фиксированном объеме производства дальнейшее снижение производственных затрат и стоимости единицы продукции по сравнению с достигнутым уровнем также происходит с замедлением, что приводит к выпуклости целевых функций, описывающих стоймостные характеристики производства.

 

 

 

Заключение

Широкий класс задач математического программирования связан с минимизацией выпуклых функций многих переменных, определенных на выпуклом множестве. Такие задачи относят к задачам выпуклого програмирования. В моем реферате были рассмотрены основные свойства выпуклых множеств и функций. А также определения вогнутых, строговыпуклых, строговогнутых, квазивогнутых и квазивыпуклых функций. Рассмотрены некоторые теоремы их касающиеся.  Перечислены их свойства и признаки.