Исследование функции с помощью производной

 

Рижская средняя школа №10

 

 

 

 

Проектная работа по математике

 

 

 

“Исследование функции с помощью производной”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рижская средняя школа №10

Ученица 11А класса

Варвара Завьялова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рига,2011.

 

Содержание

 

1. Введение 3

2. Аннотация 5

3. Понятие производной 6

4. Свойства производной 6

5. Производная сложной функции 7

6. Достаточное условие монотонности функции 7

7. Необходимое условие экстремума  функции 7

8. Признак максимума функции 8

9. Признак минимума  функции 8

10. Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения

функции 8

11. Построение графиков 9

12. Заключение 17

13. Список использованной литературы 18 
Введение

 

                           В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден

                         смысл какого-нибудь максимума или минимума.

                                             (Л.Эйлер).

 

    В математике изучение задач  на нахождение  максимума  и   минимума началось  очень  давно.  Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики . Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.

  Но   только   лишь   в   эпоху  формирования математического  анализа  были  созданы первые   методы   решения   и исследования задач на экстремум.

    Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников.

Дифференциальное  исчисление было создано Ньютоном и  Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании  касательной к произвольной линии

2) о разыскании  скорости при произвольном законе  движения

Еще раньше понятие  производной встречалось в работах  итальянского

математика  Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась  касательная в

ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается

наибольшая  дальность полета снаряда.

Понятие функции является одним из основных понятии математики.

 Исследование  поведения различных систем (технические,  экономические, экологические и  др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

При решении  различных задач геометрии, механики, физики возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией

       Производная нашла широкое применение:                

а)  в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построении графиков функций;

   б)  в физике при решении  задач на нахождение скорости  неравномерного движения, плотности  неоднородного тела и др.

   в)  в тригонометрии при  вычислении тангенса угла наклона  касательной к кривой,

     а также в геометрии,  астрономии, аэродинамике, химии и  экономике, биологии и медицине.

     Данный проект рассчитан на школьников,занимающихся математикой дополнительно. На вопрос -  можно ли  ввести  рассмотрение  этой  темы  в старших классах школы – ответ будет дан в последней  главе  проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения.

  

Цель: научиться строить графики  функций с помощью производной.

Задачи:

1. изучить производную и ее свойства;
2. исследовать функции с помощью производной;
3. построить графики функций.

 

 

Аннотация

 

Работа посвящена одному из ключевых понятий математического анализа  – производной и её применению для исследования функций. В работе даны определение производной, правила  её нахождения, основные теоремы  об экстремумах и участках возрастания и убывания функции. В работе решены задачи с использованием производной. Работа может быть полезна тем, кто не знает производной и хочет научиться её применять при анализе функций.

 

Anotācija

 

Šis darbs ir veltīts vienam no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem – atvasinājumam un tā izmantošanai grafiku izpētē. Darbā ir doti atvasinājuma definīcija, tā atrašanas noteikumi, galvenās teorēmas par ekstrēmumiem un funkcijas pieauguma un mazināšanas posmiem. Ir atrisināti uzdevumi ar atvasinājuma palīdzību. Darbs var būt noderīgs tiem, kas nezina atvasinājumu un vēlas iemācīties to izmantot funkcijas analīzē. 
Определение производной

 

Рассмотрим  произвольную внутреннюю точку x₀ области определения функции y = f(x).

Разность ∆x=x-x₀ где x - также внутренняя точка области определения, называется приращением аргумента в точке x₀. Разность f(x₀+∆x)-f(x₀) называется приращением функции в точке x₀, соответствующим приращению ∆x, и обозначается ∆y=∆f(x).

Производной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е.

 

Основные свойства производной

Если в точке x существуют конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), то в этой точке существуют также производные суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:

1.

2.

3.

4.   (при )

5.

 

Доказательства свойств

 

1.

 

2. Доказательство аналогично 1-му

 

3.

 

 

 

4.

 

Производная сложной  функции

 

Если функция y = f(x) имеет производную в точке x₀, а функция y = g(x) имеет производную в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x₀, причем

Доказательство

 

Достаточное условие  монотонности функции

 

Если в каждой точке интервала (a; b) выполнено неравенство то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если  при , то y = f(x) убывает на (a; b).

 

Необходимое условие  экстремума функции

Если точка x₀ является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная то

 

 

 

 

 

Доказательство

 

                    

 

Признак максимума  функции

 

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке имеет производную на интервалах (a;x₀), (x₀;b) и на интервале (a;x₀) и на интервале (x₀;b), то точка x₀ является точкой максимума функции.

Признак минимума функции

 

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке имеет производную на интервалах (a;x₀), (x₀;b) и на интервале (a;x₀) и на интервале (x₀;b), то точка x₀ является точкой минимума функции.

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке  конечное число критических точек (точек из области определения, в  которых производная функции  обращается в ноль или не существует), нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных чисел.

 

Решение задач

 

1. y=3x⁴-4x³+2

y’=12x³-12x²

 

x	(-∞;0)	0	(0;1)	1	(1;∞)
f’(x)	-	0	-	0	+
f(x)		2		1
				min

 

 

2. y=(x²-1)³

y’=3(x²-1)²*2x

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;∞)
f’(x)	-	0	-	0	+	0	+
f(x)		0		-1		0
				min

 

3. y=

y’=2x+2x^-2

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;∞)
f’(x)	-	0	+		+
f(x)		-1
		min

4.

 

 

 

 

x	(-∞;0)	0	(0; )		( ;∞)
f’(x)	+		-	0	+
f(x)				4-1/3
				min

5.

 

 

 

 

 

x	(-∞;-0,5)	-0,5	(-0,5;2)	2	(2;∞)
f’(x)	-		-		-
f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

x	(-∞;-2)	-2	(-2; )		( ;0)	0	(0; )		( ;2)	2	(2;∞)
f’(x)	-		-	0	+		+	0	-		-
f(x)				3*31/2				-3 *31/3
				min				max

 

 Выводы

 

Графики сложных  функций, не изучаемых в программе  школы, можно легко построить с помощью производной.

        Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

 

 

Список использованной литературы

 

1. А.Колмогоров «Алгебра и начала анализа»
2. D.Kriķis, P.Zariņš, V.Ziobrovskis «Diferencēti uzdevumi matemātikā»
3. http://www.fileland.ru