Исследование функций

Тригонометрические  операции над аркфункциями

 

Тригонометрические  функции от одного и того же аргумента  выражаются алгебраически одна через  другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

 

В силу определения аркфункций:

 

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

 

(справедливо  только для x є [-1;1] )

 

tg(arctg(x)) = x ,ctg(arcctg(x)) = x

 

(справедливо  при любых x )

 

Графическое различие между функциями, заданными  формулами:

Сводка  формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Справедливость  всех этих формул может быть установлена  при помощи рассуждений, приведенных  ниже:

Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга

принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

 

Значит, имеем

Из  тождества следует:

  Имеем

Ниже  приведены образцы выполнения различных  преобразований посредством выведения  формул.

 

Пример  №1. Преобразовать выражение 

 

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример  №2. Подобным же образом устанавливается  справедливость тождеств:

 

Пример  №3. Пользуясь 

 

 

 

Пример  №4. Аналогично можно доказать следующие  тождества:

Пример  №5. Положив в формулах

 ,и

 , получим:

 и 

Пример  №6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:

 

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

 

Соотношения между аркфункциями

 

Соотношения первого рода – соотношения между  аркфункциями, вытекающими из зависимости  между тригонометрическими функциями  дополнительных дуг.

 

Теорема. При всех допустимых х имеют место  тождества:

 

 

 

 

Соотношения второго рода – соотношения между  аркфункциями, вытекающие из соотношений  между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в  другую (но от различных аргументов).

 

Случай  №1. Значения двух данных аркфункций заключены  в одной и той же полуокружности.

 

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная  в интервале (-π/2; π/2).

 

Данная  дуга может быть представлена как  в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

 

 

 

Аналогично  можно дугу α представить в  виде арктангенса:

 

 

А если бы дуга α была заключена в  интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

 

 

 

Так, например:

Аналогично:

 

 

Формулы преобразования одних аркфункций в  другие, значения которых содержаться  в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

Выражение через арктангенс.

 

Пусть  ,тогда

 

 

 

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный   и расположена в интервале (-π/2; π/2).

 

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

 

Следовательно,

 

(1)

 

(в  интервале ( -1 : 1 )

Выражение через арксинус.

 

Т.к. , то  (2)

 

в интервале 

Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства  следует тождество

 

(3)

 

Случай  №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных  промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

 

 

 

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством  любой другой аркфункции.

 

Значение  какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π  и не может быть представлено в  виде аркфункции, значение которой  принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

 

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

 

Формулы преобразования одних аркфункций в  другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

 

 

 

 

 

Примеры.

 

Пример 1. Найти область определения функции y=lg (2x-3)

y=lg(2x-3)

D(y): 2x-3>0

2x>3

x>1,5

Ответ: D(y)=(1,5; +∞ ).

Одним из понятий для исследования функции  является нули функции.

Нули  функции – это точки, в которых  функция принимает значение нуля.

     Пример 2. Найти нули функции y=x2-5x.

y=x2-5x

D(y)=R

По  определению :

y=0, тогда

x2-5x=0

x(x-5)=0

x=0 или x=5

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и  х=5.

     Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

y=4x-8

D(y)=R

По  определению:

у=0, тогда

4х-8=0

4x=8

x=2

Ответ: нулями этой функции является точка  х=2.

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего  вида, периодические функции).

Рассмотрим  функции, области определения которых симметричны относительно

начала  координат, то есть для любого х из области определения число (-х)

также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и

нечетные.

     Определение: Функция f называется  четной, если для любого х из ее

области определения f(-x)=f(x).

График  четной функции симметричен относительно оси ординат.

     Пример 4. Определить вид функции  y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.

     Пример 5. Определить вид функции y=x4-2x2+2.

y=x4-2x2+2, D(y)=R.

y(-x)=(-x)4-2(-x)2+2=x4-2x2+2=y(x) – четная.

     Определение: Функция f  называется  нечетной, если для любого х  из

ее  области определения f(-x)=-f(x).

График  нечетной функции симметричен относительно начала координат.

     Пример 6. Определить вид функции  y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.

     Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

y=3x+1/3x

                   y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.

Пример 4.

Пример 5.

Определение: Функцию f называют периодической с  периодом Т≠

0, если для любого х из области  определения значения этой функции  в точках х,

х-Т  и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

     Пример 8. Определить период функции  y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π.

Для построения графика периодической  функции с периодом Т достаточно провести

построение  на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно

перенести на расстояния nT  вправо и влево вдоль оси Ох.

     Пример 9. Построить график периодической  функции f(x)=sin2x.

f(x)=sin2x,

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.

2.3. Возрастание и убывание функций.  Экстремумы.

Также к свойствам функции относятся  возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f  возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2

из  множества Р, таких, что х2>х1 , выполнено

неравенство f(x2)>f(x1).

Функция  f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2

из  множества Р, таких, что х2>х1 , выполнено

неравенство f(x2)<f(x1).

Иными словами, функция  f называется возрастающей на множестве Р, если

большему  значению аргумента из этого множества  соответствует большее значение

функции. Функция  f называется убывающей  на множестве Р,  если большему

значению  аргумента соответствует меньшее  значение функции.

При построении графиков конкретных функций  полезно предварительно найти точки

минимума (xmin) и максимума (xmax).

Точка х0 называется точкой максимума функции f , если для всех х из

некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0

).

Точка х0 называется точкой минимума функции f , если для всех х из

некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x0

).

Точки минимума и максимума принято  называть точками экстремума.

     Пример 10. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x2

+2x, и указать промежутки возрастания  и убывания функции.

y=x2+2x, D(y)=R

y’=(x2+2x)’=2x+2

y’=0, т.е. 2х+2=0

2х=-2

х=-1

Исследуем знак производной справа и слева  от крайней точки.

-                                              +

-1

min

x=-2, y’=-4+2<0

x=0, y’=0+2>0

Так как производная меняет свой знак  с «-» на «+», то х=-1, это точка

минимума  функции.

Так как функция непрерывна в точке  х=-1, то функция возрастает на        [-

1;+∞]  и убывает на [-∞;-1].

    

Точки экстремума: xmin= -1

Экстремумы  функции: ymin=y(-1)=1-2= -1

Глава III. Исследование функций.

3.1. Общая схема исследования функций.

Исследуя  функцию, нужно знать общую схему  исследования:

1)     D(y) – область определения (область  изменения переменной х)

2)     E(y) – область значения х (область  изменения переменной у)

3)     Вид функции: четная, нечетная, периодическая  или функция общего вида.

4)     Точки пересечения графика функции  с осями Охи Оу (по возможности).

5)     Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное  значение : f(x)>0

б) отрицательное значение : f(x)<0.

6)     Промежутки монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства ( f=const).

7)     Точки экстремума (точки минимума  и максимума)

8)     Экстремумы функции (значение  функции в точках минимума  и максимума)

9)     Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы  более точно построить график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и

наименьшим  значением функции.

3.2. Признак возрастания и убывания  функций.

Если  строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам,

соединяя  их плавной линией, то даже при очень  большом числе случайно

выбранных точек может оказаться, что построенный  таким образом график будет

сильно  отличаться от графика заданной функции.

Если  при исследовании функции использовать производную и найти так называемые

«опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума  и минимума, промежутки

монотонности  функции, то даже при небольшом числе  таких «опорных» точек  мы

получим правильное  представление о графике  функции.

Прежде  чем обратиться к примерам, приведу  необходимые определения и теоремы.

     Определение монотонности функции  на интервале Функция y=f(x)

называется  возрастающей на интервале, если для  любых точек х1 и х

2 этого интервала из  условия  х1<х2 следует, что

f(x1)<f(x2). Если же из условия х1<х

2 следует, что f(x1)>f(x2), то функция  называется

убывающей на этом интервале.

     Достаточный признак монотонности  функции в интервале. Теорема:

если  функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке

интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках  принимается без доказательства.

Геометрическое  истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f

’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в

заданной  точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого

интервала, то касательная к графику с  осью абсцисс образуют острые углы, а

значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с

осью  абсцисс образуют тупой угол, а  значит, с ростом х функция f(x) убывает.

Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических

представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Критические точки функции, максимумы  и минимумы.

     Определение точек экстремума  функции. Пусть х0 –

внутренняя  точка из области определения  функции f(x). Тогда, если существует

такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [

точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство

f(x)≤f(x0) (неравенство f(x)≥f(x0)), точка х

0 называется точкой максимума  (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними  точками области определения

функции.

     Необходимый признак существования  экстремума дифференци-руемой функции.

     Теорема Ферма.

Если  х0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная

существует, то она равна нулю: f ’(x0)=0.

Эта теорема не является достаточным  условием существование экстремума

дифференцируемой  функции: если в некоторой точке  х0 производная

обращается  в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0

функция имеет экстремум.

     Определение критических точек  функции. Внутренние точки области

определения функции, в которых ее производная  равна нулю или не существует,

называют  критическими точками функции.

     Достаточные условия существования  экстремума.

     Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна  в точке х0, f

‘(x)>0  на интервале [a, x0] и f ‘(x)<0  на интервале [x0

, b], то х0 является точкой максимума функции f(x).

     Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна  в точке х0, f

‘(x)<0  на интервале [a, x0] и f ‘(x)>0  на интервале [x0