Автор: Пользователь скрыл имя, 03 Мая 2013 в 19:50, научная работа
Целью изучения курса алгебры и начала анализа является
систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих
методов математики, связанных с исследованием функций.
Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:
- систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;
- усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.
Введение
1. Понятие производной
2. Признаки возрастания и убывания
3. Схемы исследования
4. Примеры исследования функций
Примеры
Заключение
Список литературы
, b], то х0 является точкой минимума функции f(x).
Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и
для
каждой из них проверить выполнение
достаточных условий
3.4.
Наибольшие и наименьшие
Правила отыскания наибольшего
и наименьшего значений
Для
отыскания наибольшего и
некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри
промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и
из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и
наименьшее.
Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции.
Пример 11. Исследовать функцию y=x3+6x2+
y=x3+6x+9x
1) D(y)=R
2) Определим вид функции:
y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x3+6x2+9x=0
x(x2+6x+9)=0
x=0 или x2+6x+9=0
D=b2-4ac
D=36-36=0
D=0, уравнение имеет один корень.
x=(-b+D)/2a
x=-6+0/2
x=-3
(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.
4) Найдем производную функции:
y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3
x2+4x+3=0
D=b2-4ac
D=16-12=4
D>0, уравнение имеет 2 корня.
x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2
x1=-1 x2=-3
6)
Обозначим критические точки
на координатной прямой и
функции:
0
+
-3 -1
x=-4, y’=3*16-48+9=9>0
x=-2, y’=12-24+9=-3<0
x=0, y’=0+0+9=9>0
7) Найдем xmin и xmax:
xmin=-1
xmax=-3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=-1+6-9=-4
ymax=y(-3)=-27+54-27=0
9) Построим график функции:
10)Дополнительные точки:
y(-4)=-64+96-36=-4
Пример 12. Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график
y=x2/(x-2)=x+2+4/(x-2)
Найдем асимптоты функции:
x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота
_x2 x-2
x2-2x x+2
_2x
2x-4
4
y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.
lim 4/(x-2)=0
x→∞
Найдем область определения.
1) D(y)=R \ {2}
2)Определим вид функции.
y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида.
3)Найдем точки пересечения с осями.
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x2/(x-2)=0
x3-2x2=0
x2(x-2)=0
x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-
5) Определим критические точки:
y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=> <=>
(x-2)2≠ 0 x≠ 2
x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2
x(x-4)=0
x=0 или x=4
6)
Обозначим критические точки
на координатной прямой и
+ - - +
0 2 4
x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y’=(1-4)/1=-3<0
x=3, y’=(9-12)/1=-3<0
x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0
7)
Найдем точки минимума и
xmin=4
xmax=0
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(4)=16/2=8
ymax=y(0)=0
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))
построить график. 1) Найдем область определения функции:
D(y)=R
2) Определим вид функции:
y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.
(6(x-1))/(x2+3)=0
Ox: y=0, <=>
x2+3≠ 0
6x-6=0
6x=6
x=-1
(1;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0
-6(x+1)(x-3)=0
y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.
6)
Обозначим критические точки
на координатной прямой и
-3 2
-
-1 3
x=-2,
y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/
x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0
x=4,
y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/
7)
Найдем точки минимума и
xmin=-1
xmax=3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-
ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/
Заключение
На
основании приведенных
1) находят область определения функции;
2)
определяют точки разрывов
3) находят корни функции;
4)
определяют четность или
5)
проверяют функцию на
6)
вычисляют производную функции,
7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
8) находят асимптоты функции;
9)
по полученным данным строят
качественный график
Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли
эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они
сохранились, приобретая новые черты и признаки.
Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь
исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше
узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав эту научную, я
систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.
Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.
Список литературы