Изучение алгебраического материала в начальном курсе математики

Возьмем тему «Порядок выполнения действий в выражениях». Ориентируясь на материалы по математике для второго  класса. Первый урок проходит так. Сначала детям предлагаются различные выражения и им необходимо определить количество действий в них, наличие или отсутствие скобок, а так же те действия, которые необходимо выполнить в данных выражениях: 72 – ( 9- 3) – 6;  72 – 9 – 3 – 6 + 12; 72 – 9 – 3 – ( 6+ 12).

    Дети сравнивают первое и второе выражения, отмечают, что в первом есть действия (его нужно выполнить первым), в первом выражении нужно выполнить три действия, а во втором – 4. Некоторые отмечают, что во втором выражении добавляется число 12. Второе  выражение похоже на третье, только в третьем есть скобки.

  Дети говорят, что в данных выражениях отсутствуют такие действия, как умножение и деление.

  Для закрепления правил, выполняют задания. По какому признаку записаны выражения в каждом столбике?

                            29 – 8 + 24    72 : 9 · 3

   32 + 9 – 7 + 14   48 : 6 · 7 : 8

   64 – 7 + 16 – 8   27 : 3 · 2 : 6 · 9

   Только после этого ставится вычислительная задача.

На доске записывают выражение 68 – 7 · 8 + 63 : 9. Дети расставляют порядок  действий: 68 – 7 · 8 + 63 : 9. Вычисления выполняют  устно. Они решают первое действие 7 · 8 = 56. Учитель берет карточку с  числом 56 и закрывает ею выражение 7 · 8, получается запись: 68 – 56 + 63 : 9. И  так пока не получится запись: 12 + 7.

    После того как учащиеся научатся соотносить то или иное выражение с соответствующим правилам, предлагают такие задания: подумайте, какие знаки действий можно поставить вместо звездочек: o * o * o.

    Дети спрашивают «А какой порядок действий?» Учитель выставляет порядок действий: o * o * o. Предлагают разные варианты: o * o * o

   +      -  ,  -       +, ·        :, :        ·   и т. д.

Далее детям предлагается выполнить работу самостоятельно. Они  придумывают различные примеры  такого типа. Затем схемы усложняются: добавляются числа, скобки, изменяется порядок действий. Особенности этих заданий состоит в том, что они активизируют творческую активность самого учителя.

Уравнения.

         Нужны ли уравнения маленьким детям? Легко ли понять пример, когда ответ прячется за таинственным «х», который и прочесть-то не все могут правильно, то ли «икс», то ли «ха». Решение задач с помощью уравнений таинственно и интересно, а сокрытие тайн для любознательного человека вредно. Поэтому знакомство с уравнениями надо начинать с первого класса. И провести его можно следующим образом.

        Начнем с фигурок, которые дети умеют складывать и строить из них. На доске нарисованы две фигуры. Что получится при их сложение? o + ∆ =

Дети получают дом, в котором  квадрат и треугольник превратились в стену и крышу. Дом – целое, а крыша и стены – его  части. Из частей складывается целое. Ч₁ + Ч₂ = Ц

А теперь дети сами сочиняют и решают уравнения. Зная целое и  части, можно легко действовать  с числами.

Х - 2 = 7     5 – х = 3                                 6 + х   =  9

Начинают с того, что  определяют, где целое, и подчеркивают его. Ведь отнимать можно только от целого. 

Х - 2 = 7     5 – х = 3                                 6 + х   =  9

          Из этих уравнений только в первом мы ищем целое. В двух других – части.

Х = 7 + 2     х = 5 –3          х = 9 - 6

Х = 9               х =2           х = 3

Уравнение помогает узнать, верно ли произведены вычисления, если вместо х подставить свою находку  – число. 

      Х - 2 = 7     5 – х = 3                                 6 + х = 9

     9 – 2 = 7     5 – 2 = 3          6 + 3 =  9 

Таким образом, для того что  бы решить уравнение нужно:

а. Отметить целое;

б. Найти решение;

в.  Записать корень уравнения;

г.  Сделать проверку – подставить найденное число в первую сторону и убедиться, что конечные числа совпадают.

Если что-то не так, то нужно  проверить, где поторопился. Это  тоже важное умение – найти у  себя ошибку и исправить ее.

          Методика работы над уравнением.

В соответствии с действующей программой в первом классе, рассматриваются простейшие уравнения вида: х + 3 = 7; 4 + х = 9; х – 2 = 6; 5 – х = 3.

          Чтобы осознавать те изменения, которые произошли в методике обучения решению уравнений, остановимся сначала на той методике, которой учителя пользовались ранее.

          Прежде всего знакомство с уравнениями каждого вида разделено во времени. До четвертой четверти учебного года учащиеся решали только уравнения на нахождение неизвестного слагаемого. В основе решения этого вида уравнений лежало усвоение соответствующей терминологии  (сумма, слагаемые) и правила нахождения неизвестного слагаемого по сумме двух слагаемых и одному из них.

          Никакого  определения уравнениям не дается, однако учащихся полезно научить узнавать уравнения. Можно, например, предложить найти среди записей уравнения и подчеркнуть их: х + 3 = 5; 5 > 3; 3 + х = 7; 9 + 1 = 10; 10 –х=8.

           При знакомстве с уравнением можно выделить три этапа:

1. Подготовительная работа;
2. Знакомства с уравнениями видов х + 3 = 5; 2 + х = 6; х – 4 = 5; 8 – х = 3, Решаемых способом подбора;
3. Решение уравнений на основе знания зависимости между компонентами и результатом действий сложения и вычитания.

          Первый этап начинается на уроках ознакомления с числами от 1 до 10 и включает следующие виды упражнений:

1. Примеры с «окошками».
2. Игра «Молчанка».
3. Рассматриваются различные случаи состава чисел 8 и 9.

Второй этап – это знакомство с буквой х. Третий этап – учатся решать уравнения на основе знания связи между компонентами и результатами действия сложения и вычитания. Задание: реши примеры.

6 + 4 = 10    7 + 2 = o

10 – 6 = o    9 - o = o

10 – 4 = o    o - o = o

Следует отметить, что этот подход создает более благоприятные  условия для осуществления преемственности  в обучении решению уравнений  в начальных классах.

2.3 Сравнительный анализ изучения элементов алгебры в различных УМК.

 

Как известно, при изучении математики в 5-м классе существенная часть времени  отводится на повторение того, что  дети должны были усвоить в начальной школе. Это повторение практически во всех существующих учебниках занимает 1,5 учебной четверти. Такая ситуация сложилась неслучайно. Ее причина – недовольство учителей математики средней школы подготовкой выпускников начальной школы. В чем же причина такого положения? Для этого были проанализированы учебники М.И. Моро,       Л.Г. Петерсон, В.В. Давыдова и И.И. Аргинской ([12], [5], [14], [15], [2]).

Анализ этих учебников выявил несколько  негативных моментов, в большей или  меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих на дальнейшее обучение. Прежде всего это то, что усвоение материала  в них в большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого  служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе ее запоминанию  уделяется много сил и времени. Но за время летних каникул дети ее забывают. Причина такого быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского показали, что осмысленное запоминание  гораздо более эффективно, чем  механическое, а проведенные впоследствии эксперименты убедительно доказывают, что материал попадает в долговременную память, только если он запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу.

Способ эффективного усвоения таблицы  умножения был найден еще в 50-х  годах. Он состоит в организации  определенной системы упражнений, выполняя которые, дети сами конструируют таблицу  умножения. Однако не в одном из рассмотренных  учебников этот способ не реализован.

Другим негативным моментом, влияющим на дальнейшее обучение, является то, что  во многих случаях изложение материала  в учебниках математики начальной  школы построено таким образом, что в дальнейшем детей придется переучивать, а это, как известно, гораздо труднее, чем учить. Применительно  к изучению алгебраического материала  примером может служить решение  уравнений в начальной школе. Во всех учебниках решение уравнений  основано на правилах нахождения неизвестных  компонентов действий.

Несколько иначе это сделано  лишь в учебнике Л.Г. Петерсон, где, например, решение уравнений на умножение  и деление строится на соотнесении  компонентов уравнения со сторонами  и площадью прямоугольника и в  итоге также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны  или площади прямоугольника. Между  тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно другому принципу решения  уравнений, основанному на применении тождественных преобразований. Такая  необходимость переучивания приводит к тому, что решение уравнений  является достаточно сложным моментом для большинства детей.

Анализируя учебники, мы столкнулись  еще и с тем, что при изложении  материала в них зачастую имеет  место искажение понятий. Например, формулировка многих определений дается в виде импликаций, тогда как из математической логики известно, что  любое определение – это эквиваленция. В качестве иллюстрации можно  привести определение умножения  из учебника И.И. Аргинской: "Если все  слагаемые в сумме равны между  собой, то сложение можно заменить другим действием – умножением". (Все  слагаемые в сумме равны между  собой. Следовательно, сложение можно  заменить умножением.) Как видно, это  импликация в чистом виде. Такая  формулировка не только неграмотна с  точки зрения математики, не только неправильно формирует у детей  представление о том, что такое  определение, но она еще и очень  вредна тем, что в дальнейшем, например, при построении таблицы умножения  авторы учебников используют замену произведения суммой одинаковых слагаемых, чего представленная формулировка не допускает. Такая неправильная работа с высказываниями, записанными в  виде импликации, формирует у детей  неверный стереотип, который будет  с большим трудом преодолеваться на уроках геометрии, когда дети не будут чувствовать разницы между  прямым и обратным утверждением, между  признаком фигуры и ее свойством. Ошибка, когда при решении задач  используется обратная теорема, в то время как доказана только прямая, является очень распространенной.

Другим примером неправильного  формирования понятий является работа с отношением буквенного равенства. Например, правила умножения числа  на единицу и числа на нуль во всех учебниках даются в буквенном  виде: а х 1 = а, а х 0 = 0. Отношение равенства, как известно, является симметричным, а следовательно, подобная запись предусматривает не только то, что при умножении на 1 получается то же число, но и то, что любое число можно представить как произведение этого числа и единицы. Однако словесная формулировка, предложенная в учебниках после буквенной записи, говорит только о первой возможности. Упражнения по этой теме также направлены только на отработку замены произведения числа и единицы этим числом. Все это приводит не только к тому, что предметом сознания детей не становится очень важный момент: любое число можно записать в виде произведения, – что в алгебре при работе с многочленами вызовет соответствующие трудности, но и к тому, что дети в принципе не умеют правильно работать с отношением равенства. К примеру, при работе с формулой разность квадратов дети, как правило, справляются с заданием разложить разность квадратов на множители. Однако те задания, где требуется обратное действие, во многих случаях вызывают затруднения. Другой яркой иллюстрацией этой мысли служит работа с распределительным законом умножения относительно сложения. Здесь также, несмотря на буквенную запись закона, и его словесная формулировка, и система упражнений отрабатывают только умение открывать скобки. В результате этого вынесение общего множителя за скобки в дальнейшем будет вызывать значительные трудности.

Весьма часто в начальной  школе, даже когда определение или  правило сформулировано верно, обучение стимулирует опору не на них, а  на нечто совершенно другое. Например, при изучении таблицы умножения  на 2 во всех рассмотренных учебниках  показан способ ее построения. В  учебнике М.И. Моро это сделано так:

2 х 2 2 х 3 2 х 4 2 х 9

2 + 2 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

При таком способе работы дети очень  быстро подметят закономерность получающегося  числового ряда.

Уже после 3–4 равенств они перестанут складывать двойки и начнут записывать результат, основываясь на подмеченной  закономерности. Таким образом, способ конструирования таблицы умножения  не станет предметом их сознания, результатом  чего будет являться непрочное ее усвоение.