Контрольная работа по «Высшая математика»

Автор: Пользователь скрыл имя, 30 Ноября 2011 в 16:20, контрольная работа

Описание работы

Задание № 1 Вычислить пределы функций:
Решение. Числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны нулю, то есть мы имеем дело с неопределенностью . Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. Числитель раскладываем по теореме Виета, первый корень , а второй . Знаменатель раскладываем воспользовавшись формулой разности квадратов . Тогда

Содержание

Задание № 1 Вычислить пределы функций:
а) ; б) ;
в) ; г)
Задание № 2 Вычислить производные таких функций:
а) ; б) ; в)
г) , д)
Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид
.
Задание № 4 Построить график функции

Работа содержит 1 файл

Контрольная работа по ВМ1.doc

— 491.50 Кб (Скачать)

Министерство  образования и  науки украины

Донецкий  институт автомобильного транспорта 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

студента  заочного отделения группы

Вариант: 3

Рецензент:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Донецк 2004

 

Задание № 1 Вычислить пределы функций:

а) ; б) ;

в) ; г)  

Задание № 2 Вычислить производные таких функций:

а) ; б) ; в)

г) ,     д)  

Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид

.

Задание № 4 Построить график функции

 

Решение

Задание № 1 Вычислить пределы функций:

Решение. Числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны нулю, то есть мы имеем дело с неопределенностью . Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. Числитель раскладываем по теореме Виета, первый корень , а второй . Знаменатель раскладываем воспользовавшись формулой разности квадратов . Тогда

затем сократим дробь на , считая, что , но , то есть :

Ответ: . 

б) 

Решение. Имеем неопределенность вида , т.к. при пределы числителя и знаменателя равны нулю. Здесь в числителе и в знаменателе присутствует иррациональность. Поэтому следует умножить и числитель, и знаменатель на сопряженные выражения и для того, чтоб воспользоваться формулой разности квадратов .

затем сократим дробь на , считая, что , но , то есть , а значит и :

.

Ответ: . 

в) ;

Решение. Поскольку при числитель и знаменатель представляют собой бесконечно малые функции, то мы вправе заменить их соответствующими бесконечно малыми функциями, а именно: и . Тогда после сокращения дроби на (так как ), получим результат:

Ответ:  

г)

Решение. Перейдем в дроби, которая расположена в скобках, от бесконечно больших к бесконечно малым , деля числитель и знаменатель этой дроби на . Одновременно используем свойства показателя степени и запишем наше выражение так:

второй  множитель имеет предел равный единице, так как , , а в первом множителе предел частного равен частному пределов. Используя второй замечательный предел , получим результат:

.

Ответ:  

Задание № 2 Вычислить производные таких функций:

а) ;

Решение. Для решения задачи используем таблицу основных производных и правило дифференцирования сложной функции.

.

Ответ:  

б) ;

Решение. Для упрощения вычисления производной вначале прологарифмируем обе части равенства и используем соответствующие свойства логарифмов:

Далее вычисляем производные левой  и правой частей равенства, считая функцией от (то есть – сложная функция)

Умножим обе части равенства на и выполним необходимые преобразования:

.

Ответ:  

в) ;

Решение. Для упрощения вычисления производной вначале прологарифмируем обе части равенства и используем соответствующие свойства логарифмов:

;

Далее вычисляем производные левой и правой частей равенства, считая функцией от (то есть – сложная функция):

Умножим обе части равенства на и выполним необходимые преобразования:

.

Ответ:  

г) ,   

Решение. Используем правило нахождения производной неявной функции, то есть находим производную обоих частей, считая функцией от :

.

Из полученного  равенства находим  :

, откуда 

Ответ:  

д)

Решение. По таблице производных производная функции, которая задается в параметрической форме равна , то есть

Ответ:  

Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид

.

Решение. Следуя определению дифференциала, находим производную заданной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получаем дифференциал функции:

Ответ:  

Задание № 4 Построить график функции

Решение.

  1. Областью определения функции является вся числовая ось. То есть
  2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: если , то ; если, то , и . Получаем в результате разложения на множители уравнения , где – биквадратное уравнение. Пусть , тогда решаем по теореме Виета: . Возвращаясь к переменной , получаем: при , , а при , уравнение не имеет решений. Таким образом кривая пересекает координатные оси в точках , и .
  3. Проверим четность функции. Получаем

 
Так как выполняется условие  , то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому дальнейшее исследование будем проводить для .

  1. Функция непрерывна на всей числовой оси. Так как функция не имеет точек разрыва 2-го рода, то вертикальных асимптот нет. Проверим наличие наклонных асимптот :

, отсюда следует, что график  заданной функции не имеет  наклонных асимптот.

  1. Исследования на монотонность и выпуклость функции объединим и составим сводную таблицу, где в первой строке поместим все критические точки, подозрительные как на экстремум, так и на перегиб графика функции, и соответствующие интервалы.

Найдем  первую производную и критические точки I рода:

  при 

Пусть , тогда , где , а ; то есть , а . Возвращаясь к переменной , получаем: при , , а при , уравнение не имеет решений. Итак, критические точки I рода .

Найдем  вторую производную и критические  точки II рода:

 при , то есть или , и – критические точки II рода.

Исследуем знаки производных в интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: 

 

0
1
–2 –2,45 0 +
0 0 + 14 +
0
перегиб:

min:

-2

 
  1. прп
 
 
 

Решить  систему линейных уравнений методом  Крамера: (66,4)

Решение

      Составим  определитель системы из коэффициентов  при неизвестных и вычислим его (по правилу треугольников):

  1 2 1  
Δ= 2 -1 -1 =(1·(-1)·1)+(2·(-1)·5)+(2·1·1)-(1·(-1)·5)-(2·2·1)-(1·(-1)·1)=(-1)+(-10)+
  5 1 1  
 
+2-(-5)-4-(-1)=-7   Δ=-7≠ 0  

т.к. определитель не равен 0 (Δ≠0), то система совместна и имеет единственное решение. Вычислим последовательно определители Δ1, Δи Δ3.

      Заменив в определителе системы первый столбец (коэффициенты при x1) столбцом свободных членов, получим Δ1. Вычислим его (по правилу треугольников):

  3 2 1  
Δ1= -3 -1 -1 =(3·(-1)·1)+(2·(-1)·(-4))+((-3)·1·1)-(1·(-1)·(-4))-(2·(-3)·1)-(1·(-1)·(3)=
  -4 1 1  
       
=(-3)+8+(-3)-4-(-6)-(-3)=7 Δ1= 7 ≠0
 

      Аналогично, заменив в определителе системы  второй столбец (коэффициенты при x2) столбцом свободных членов, получим Δ2. Вычислим его (по правилу треугольников):

  1 3 1  
Δ2= 2 -3 -1 =(1·(-3)·1)+(3·(-1)·5)+(2·(-4)·1)-(1·(-3)·5)-(3·2·1)-((-4)·(-1)·1) =(-3)+
  5 -4 1  
 
+(-15)+(-8)-(-15)-6-4=-21 Δ2= -21 ≠0  

Информация о работе Контрольная работа по «Высшая математика»