Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

параметрическое уравнение:

    

Свойства

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до

• Длина всей кривой 6R.

• Радиус кривизны:

• Площадь, ограниченная кривой:

• Астроида  является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

Лемниската  Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности. Её название происходит от греч. λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

История

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай^[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером^[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• в прямоугольных координатах:

 

Проведя несложные  преобразования, можно получить явное  уравнение:

• в полярных координатах:

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где 

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой

Вывод уравнения :

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

• Лемниската  — кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

• Расстояние  от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
• Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

  Свойства от синусоидальной спирали

• Точка, где  лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
• Касательные в двойной точке составляют с отрезком F₁F₂ углы .
• Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен .
• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
• Радиус кривизны лемнискаты есть

Собственные свойства

Гравитационное свойство лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.
• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
• Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
• Площадь полярного сектора , при :

• В частности, площадь  каждой петли  , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной .
• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
• Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом I рода:

где

• В частности, длина всей лемнискаты