Линейные пространства

 Определение и примеры         

 Определение Пусть  -- поле,  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля , то есть любому элементу , , и любому элементу , , сопоставляется элемент из множества , называемый произведением на и обозначаемый . Множество называется линейным или векторным пространством над полем , если по отношению к операции сложения множество является абелевой группой, и для любых из поля и любых из множества выполнены равенства:

1. ;
2. ;
3. ;
4. , где 1 -- единица поля .

 

        

 В дальнейшем в качестве поля используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

 Легко проверить, что множество векторов трехмерного  простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

 По аналогии с трехмерным векторным пространством  элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

 Другими примерами  вещественных линейных пространств  могут служить:

1. множество столбцов из элементов, являющихся вещественными числами ;
2. множество многочленов степени не выше с вещественными коэффициентами;
3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
4. множество функций непрерывных на некотором отрезке .

 В примерах 2-4 нулевым вектором является многочлен  или функция тождественно равная нулю, то есть равная нулю при всех значениях аргумента. Проверку того, что указанные множества являются линейными пространствами, предоставляем читателю.

 Если в  примерах 1-3 слово "вещественными" заменить на "комплексными", то получим  примеры комплексных линейных пространств.         

 Пример  Рассмотрим еще один пример линейного пространства. Пусть имеется однородная система линейных уравнений, которую запишем в матричном виде , где  -- матрица системы, а  -- столбец неизвестных. В силу  предложения 15.3 столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства. Итак, множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Если матрица имеет вещественные элементы, то и пространство будет вещественным, если комплексные -- то и пространство будет комплексным.          

 Базис и размерность  пространства

 Так как в  линейном пространстве векторы можно  складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия  линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

 На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение  базиса. Оно почти дословно совпадает  с определением 10.16.         

 Определение 2   Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.         

 В отличие  от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.         

 Пример 2   Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

 Предположим противное. Пусть векторы  образуют в этом пространстве базис.

 Каждый вектор пространства  -- это многочлен. Пусть

  

 Из степеней многочленов  выберем наибольшую и обозначим ее буквой . Возьмем многочлен . Так как и векторы образуют базис, то , где  -- вещественные числа. Следовательно, является суммой многочленов степеней меньших, чем , и поэтому его степень должна быть меньше, чем . С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.                 

 Теорема 1   В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

 Доказательство  теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом  учебнике по линейной алгебре, например в [1].         

 Определение 3   Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.         

 Примером  бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с  вещественными коэффициентами. Как  показано в  примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.         

 Предложение 1   Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .         

 Доказательство.     Возьмем систему векторов

 

 Покажем, что  эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

 

 Преобразуем левую часть, откуда , , . Итак, система векторов  -- линейно независима.

 Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что

 

 Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.     

 Пространство  столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается .         

 Предложение 2   Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность .     

 Доказательство  такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается .         

 Пример 3   Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где  -- число неизвестных, а  -- ранг матрицы . Этим базисом служит фундаментальная система решений  

 Координаты  векторов         

 Определение 4   Пусть  -- -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное,  -- базис. Тогда произвольный вектор из представим в виде линейной комбинации векторов базиса:

 

 Числа называются координатами вектора в базисе . Столбец из координат вектора называется координатным столбцом вектора .                 

 Предложение 3   Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.         

 Доказательство.     Предположим противное. Пусть  -- базис, в котором у вектора есть два различных набора координат:

 

 Тогда

 

 то есть

 

 Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен  от нуля. Следовательно, векторы   -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.              

 Предложение 4   Пусть в -мерном пространстве задан базис . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.         

 Доказательство.     Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Отсюда следует, что

 

 Поэтому

 

  

 Это равенство  означает, что координатный столбец  вектора  имеет вид . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.     

 Из последнего предложения следует, что как  только в  -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства в вещественном случае, а в комплексном -- копией  
 
 

 Изменение координат вектора  при изменении  базиса

 Пусть в  -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

 

 Составим  матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

 

 Эта матрица  называется матрицей перехода от старого базиса к новому.         

 Замечание 1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть .                 

 Предложение 5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

  

 где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.         

 Доказательство.     Так как  -- координатный столбец вектора в новом базисе, то

 

 Заменив векторы  их разложениями по старому базису, получим

 

 В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

 

 Здесь мы получили разложение вектора  по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.