Математическое моделирование с помощью временных рядов

Федеральное агентство по образованию

Брянский  Государственный Технический Университет 
 
 

Курсовая  работа

на  тему:

  «Математическое  моделирование с  помощью временных  рядов». 
 
 
 

Подготовила:

Студентка 09-СЦ

Сопова  Дарья

Проверил:

Белоусов  А.Г. 
 
 
 
 

Брянск 2011 

Содержание:

Введение

Временные ряды и их компоненты

Основные показатели динамики для временного ряда годовых  данных

Проверка гипотезы о наличии тренда (критерий Фостера-Стюарта, критерии серий)

Анализ структуры  временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции

Сглаживание временного ряда квартальных данных с помощью  скользящих средних 

Методы прогнозирования  на основе временных рядов

Метод экспоненциального  сглаживания с учетом тренда

Заключение 

Введение

  Одна из важнейших задач статистики заключается в исследовании процесса изменения и развития, изучаемых социально-экономических явлений во времени, решаемая с помощью построения временных рядов.

  Временным рядом (динамическим рядом, английский термин «Time series») называется ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистического показателя, характеризующего изменение социально-экономического явления во времени. В нем процесс экономического развития изображается в виде совокупности прерывов непре рывного, позволяющих детально проанализировать особенности развития при помощи харак теристик, отображающих изменение параметров экономической системы во времени. Фактор времени здесь приобретает решающее значение.

  Процесс изменения социально-экономических явлений во времени заключается в том, что происходит изменение воздействия на это развитие многих факторов социального, экономического, технологического и любого другого процесса, а фактор времени аккумулирует их влияние. Возьмем хотя бы экономические факторы. С течением времени они изменяются под влиянием внутренних причин экономического развития вообще, но с внешней стороны это развитие выглядит как развитие во времени. Всякий временной ряд включает два обязательных элемента: время (t) и конкретное значение показателя, или уровень ряда (yi).

  Анализ временных рядов дает возможность последить развитие явления, показать его основные пути, тенденции и темпы. Выбор соответствующих приемов и способов анализа зависит от задач исследования и определяется характером исходных данных.

  Поэтому, приступая к анализу временных рядов, важно правильно их классифицировать

(таблица  2.1).

Классификация временных рядов

  Выбор вида временного ряда определяется целями анализа.

  Временные ряды охватывают отдельные обособленные периоды времени, в течение которых могут происходить изменения, вызывающие несопоставимость уровня ряда. Это делает временные ряды непригодными для анализа (несопоставимость уровней). К несопоставимости приводит изменение состава изучаемой совокупности, переход к дру гим единицам измерения, изменение методологии учета и расчета показателей, инфляционные процессы и т. п. Несопоставимыми временные ряды являются и в том случае, когда они составлены из неодинаковых по продолжительности периодов времени. Это относится, прежде всего, к рядам внутригодовой динамики с квартальными и месячными уровнями.  
  Временные ряды и их компоненты

Совокупность  наблюдений величины , выполненных в течение некоторого промежутка времени, называют данными временного ряда или просто временным рядом. Чаще всего наблюдения регистрируются через постоянные промежутки времени. В общем случае временные ряды не представляют собой случайную выборку и требуют специальных методов для их исследования. Наблюдения во временных рядах, как правило, зависят друг от друга (автокоррелируют). Эта зависимость образует модель изменения или поведения данных, которую можно использовать для предсказания их будущих значений, а это, в свою очередь, может значительно помочь руководству в управлении деловыми операциями.

Декомпозиция

 Один из методов анализа данных временных рядов включает попытку определить составляющие факторы, которые влияют на каждое значение временного ряда. Подобная процедура идентификации называется декомпозицией. Каждая компонента идентифицируется отдельно. Затем вклады каждой компоненты комбинируются с целью получения прогнозов будущих значений временных рядов.

Рассмотрение  методов декомпозиции начинается с  четырех компонент временных  рядов – это трендовая, циклическая, сезонная и нерегулярная (или случайная) компоненты.

1.  Тренд.  Тренд – это компонента, представляющая  основной рост (или спад) во временном  ряду. Компонента тренда обозначается  буквой  .

2.  Цикличность.  Циклическая компонента – это  последовательность волнообразных флуктуации или циклы длительностью более одного года. Изменение экономических условий обычно происходит циклически. Циклическая компонента обозначается буквой .

3.  Сезонность. Сезонные изменения обычно присутствуют  в квартальных, месячных или  недельных данных. Под сезонными  вариациями понимаются изменения  с более или менее стабильной  структурой, имеющие годовую цикличность  и повторяющиеся из года в  год. Сезонная компонента обозначается  буквой . 

4.  Нерегулярность. Нерегулярная компонента включает  непредсказуемые или случайные  флуктуации. Нерегулярная компонента  обозначается буквой  .

Двумя простейшими моделями, связывающими наблюдаемую величину временного ряда ( ) с компонентами тренда ( ), сезонности ( ) и нерегулярности ( ), являются модель аддитивных компонент

                                               (1.1)

и модель мультипликативных компонент.

                                              (1.2)

Модель  аддитивных компонент применима  в тех случаях, когда анализируемый  временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда. Иными словами, все значения ряда существенно убывают  в пределах полосы постоянной ширины, центрированной на уровне тренда.

Модель  мультипликативных компонент эффективнее  в тех ситуациях, когда изменение  временной последовательности увеличивается с ростом уровня.

Тренд

Тренд представляет собой долговременные изменения во временных рядах, которые  иногда можно описать с помощью  прямой линии или гладкой кривой. Если грубо представить тренд  в виде прямой линии, т.е. если рост или  спад похожи на прямую линию, то она  описывается следующим уравнением:

,                                                  (1.3)

где

 – это  расчетное значение тренда в  момент времени  .

Символ  используется для независимой переменной, представляющей время и обычно принимающей целочисленные значения 1,2,3,..., соответствующие последовательным периодам времени. Коэффициент наклона является средним ростом или спадом для любого возрастания во времени за один период.

Прогноз тренда

Пусть прогноз величины на шагов вперед делается в момент времени (конец последовательности), при этом для прогнозирования используется трендовая модель. Период времени, на который делается прогноз, – в данном случае это – называется началом предсказания. Значение именуется дальностью прогнозирования. Для модели линейного тренда можно сделать прогноз, вычисляя значения по уравнению . 

Основные  показатели динамики для временного ряда годовых данных

Если  в исходных данных нам представлен интервальный ряд с равноотстоящими уровнями во времени. Тогда для определения среднего уровня ряда можно воспользоваться следующей формулой:

,                                                   (1.4)

где

– длина временного ряда, то есть число уровней.

Для количественной оценки динамики явлений применяются  следующие основные аналитические показатели:

1)  абсолютный  прирост;

2)  темпы  роста;

3)  темпы  прироста.

Причем  каждый из перечисленных показателей может быть трех видов:

1)  цепной;

2)  базисный;

3)  средний.

Абсолютный  прирост характеризует изменение  показателя за определенный промежуток времени и находится по формуле:

,                                              (1.5)

где

,

.

Причем, если , то можно найти цепной абсолютный прирост:

.                                               (1.6)

Если  , то можно найти базисный абсолютный прирост относительно начального уровня:

.                                                 (1.7)

Средний абсолютный прирост – это обобщающая характеристика скорости изменения  исследуемого показателя во времени (скорость – это прирост в единицу времени):

,                                                 (1.8)

где

– цепной абсолютный прирост

Темп  роста характеризует отношение  двух сравниваемых уровней ряда и определяется по формуле: