Математики эпохи Возрождения

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью , произнес:

Уважаемые господа! Мой достойный  противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила.

Он говорит, что не ему, Кардано, “а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.” Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в “Ars magna” мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом? Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно …

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари.Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала “победителя” диспута Луиджи Феррари.

Так закончился этот спор, который  и сейчас продолжает вызывать все  новые и новые споры. Кому в  действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталья. Он открыл , а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной …

О проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического уравнения связали с “Великим искусством” и постепенно стали называть формулой Кардано.

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: “Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством”

Франсуа Виет

«…Искусство, которое  я излагаю, ново или по крайней  мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид…»

Ф. Виет.

Франсуа Виет (1540-1603) родился в городке  Фонтене-ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Сын  прокурора, Виет получил юридическое  образование и начал адвокатскую практику в родном городе. Но вскоре он стал секретарём и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. (Гугеноты - последователи кальвинизма, одного из основных течений Реформации Церкви.) Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.

В 1571 г. Виет переехал в Париж, где  возобновил адвокатскую практику, а  позже стал советником парламента в  Бретани.накомство с Генрихом Наваррским, будушим королём Франции Генрихом IV, помогло Виету занять видную придворную должность - тайного советника - сначала при короле Генрихе III, а затем и при Генрихе IV.

Голландский математик Андриан  ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что  вычислил число p; с восемнадцатью  верными знаками, повторив тем самым через 150 лет результат среднеазиатского математика ал-Каши, в конце 16 столетия решил бросить вызов всем математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени: x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 +... + 95634x5 - 3795x3 + 45x = a, Французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV (кто не знает - это дедушка Людовика XIV). - И все же у меня есть математик! - воскликнул король. - Позовите Виета!

В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения, описываемые выражением: при n=1,2,...,22. Этим он и ограничился, так как остальные 22 корня - отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней.

После такого успеха Виета составитель  злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его. Нельзя сказать, что во Франции о Виете  ничего не знали. Громкую славу он получил еще раньше, при Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции. Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он в 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городу. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Он знал астрономию и математику, и все свободное время отдавал этим наукам. Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV. Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики. Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому надо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получить числа того же рода. Значит их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Правда у самого Виета алгебраические символы были еще мало похожи на наши. Например современную запись уравнения x3 + 3bx = d Виет записывал так: A cubus + B planum in A3 aequatur D solido. Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно, что за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении корней квадратного уравнения через его коэффициенты, полученной им самостоятельно, хотя как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратное) была известна еще Кардано, а в таком виде, в каком мы используем ее для квадратного уравнения древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin(x) и cos(x). Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Аполлоном Галльским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию). В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Есть подозрения, что он был убит.

Лука Пачиоли

Лука Пачоли (около 1445 - около 1514) был крупнейшим европейским алгебраистом XV в. Он родился в местечке Борго-Сан-Сеполькро в Центральной Италии, учился в Болонском университете. Пачоли стал профессором математики и преподавал в Риме, Неаполе, Милане, Флоренции, Болонье.

В Милане он подружился с  выдающимся художником и учёным Леонардо да Винчи. По настоянию Леонардо в 1497 г. Пачоли написал книгу "О Божественной пропорции" (её печатное издание вышло в Венеции в 1509 г.). Сам Леонардо выполнил иллюстрации для этой книги, в том числе 59 изображений многогранников. Но самым знаменитым сочинением Пачиоли стала "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" (1487 г.). Книга была напечатана в Венеции в 1494 г.

Возникновение экспериментального естествознания в ХУ1-ХУП в.в. № 14

(Л.да Винчи, Н.Коперник, Дж. Бруно, Г.Галилей, И.Ньютон)

Историческая справка

Период европейской  истории с конца Х1У по начало ХУП века принято называть эпохой Возрождения и подразделять ее на два этапа:

- ранний этап - Италия  Х1У – ХУ веков; в основном  он характеризуется развитием  гуманитарных проблем (Ф. Петрарка, Дж. Боккаччо – Х1У век) и борьбой  против схоластики.     

- поздний этап (ХУ – начало ХУП в.); это время возникновения экспериментального     естествознания, хотя и гуманитарные проблемы продолжают развиваться.

Вцелом для эпохи Возрождения характерно следующее:

- использование античного культурного наследия: его значение столь велико, что вся  эпоха определяется как эпоха Возрождения (Ренессанса); это название подчеркивает возобновление и творческое развитие культуры античности после более чем тысячелетнего забвения;

- значительное уменьшение диктатуры римско-католической церкви: появление лютеранства, кальвинизма;

- возникновение культуры  гуманизма: светской культуры, в  центре которой стоит ЧЕЛОВЕК,  его права, интересы, формирование  всесторонне развитой личности;

- существенные сдвиги  в сфере производства: развитие  горной промышленности, появление доменного металлургического процесса, развитие кораблестроения, военного дела, совершенствование водяных и ветряных двигателей, появление книгопечатания, применение компаса и пороха и т.д.;

- рост интереса к  природе и развитие естествознания: природа становится важным объектом не только литературы и изобразительного искусства, но и науки.       

 Для становления науки  рассматриваемого периода характерно следующее:

- развитие математики; необходимо было, прежде всего,  восстановить математику как  теоретическую, строго доказательную  дисциплину и поставить ее на службу развивающейся производственной практике. В этом состояло существенное отличие от положения математики в эпоху античности, когда она расценивалась как «чистая наука», часть философии; теперь важно было развивать математику и как теоретическую, и как прикладную дисциплину;

- возникновение экспериментального  и математического естествознания; подлинно научное изучение природы и человека возможно лишь на путях их опытного, экспериментального исследования – развивается методология опыта, формируется эксперимент как важнейший метод научного исследования, возникает неизвестное ранее математическое естествознание;

- существенное изменение астрономии; она становится важнейшей прикладной и теоретической дисциплиной, сочетающей как тщательное наблюдение природы, так и ее строжайшее математическое осмысление; это привело, в частности, к появлению более точных астрономических таблиц, нового календаря, гелиоцентрической системы.

- значительное развитие физики, химии, ботаники, биологии, медицины.       

 Среди наиболее значительных ученых эпохи Возрождения следует выделить Л. да Винчи, Н.Коперника, Дж. Бруно, Г.Галилея. В этой же теме целесообразно рассмотреть и вклад в науку, сделанный И.Ньютоном в  конце эпохи Возрождения – начале Нового времени.

Леонардо Да Винчи (1452 – 1519)

Итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый, инженер.

Сочетая разработку новых  средств художественного языка с теоретическими обобщениями, Леонардо да Винчи создал образ человека, отвечающий гуманистическим идеалам Высокого Возрождения.

Леонардо родился в семье богатого нотариуса и сложился как мастер, обучаясь у Андреа дель Верроккьо в 1467-1472 годах. Методы работы во флорентийской мастерской того времени, где труд художника был тесно сопряжен с техническими экспериментами, а также знакомство с астрономом П. Тосканелли способствовали зарождению научных интересов юного Леонардо. 

Л. да Винчи -  первый теоретик экспериментально-математического исследования природы. Он отстаивал решающее значение опыта в познании природы. Истина, считал он, достижима через союз ОПЫТА с ТЕОРИЕЙ (наукой). Наиболее полезным методом познания истины считал АНАЛИТИЧЕСКИЙ метод.       

 Л.да Винчи принадлежат многочисленные открытия, проекты, экспериментальные исследования в области математики, естественных наук, механики. Об этом можно судить, исходя из записных книжек и рукописей. Всего сохранилось около 7 тысяч листов.

Искусство и наука, по мнению Леонардо, связаны неразрывно. Отдавая  пальму первенства живописи как наиболее интеллектуального, по его убеждениям, вида творчества, мастер понимал ее как универсальный язык (подобный математике в сфере наук), который воплощает все многообразие мироздания посредством пропорций, перспективы и светотени. «Живопись, — пишет Леонардо, — наука и законная дочь природы..., родственница Бога». Изучая природу, истинный художник-естествоиспытатель тем самым познает «божественный ум», скрытый под внешним обликом натуры.