Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора

Еще, например, один  учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил свом рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили  и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. « Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.

Проводились соревнования в институте  кибернетики Украинской  академии  наук. В соревновании  участвовали  молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем  в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии  тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала  Деви тоже несколько опередила ЭВМ.

Большенство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике  не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Но бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой

степени из многозначного числа), добился  таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики-феномены»  пользуются особыми приемами  быстрого  счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II . Старинные способы умножения.

 

2.1. Русский крестьянский способ умножения.

 

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35,

- запишем числа на одной строчке,  проведём  между ними  вертикальную  черту;

- левое число будем делить  на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда  слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в  которых стоят слева чётные  числа;

- далее оставшиеся справа числа  складываем – это результат;

 

     35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.            

 

 

 

 

 

 

2.2. Метод «решетки».

1). Выдающийся арабский математик  и астроном Абу Абдалах Мухаммед  Бен Мусса аль - Хорезми жил  и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает  «из Хорезми», т.е. родился в  г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

    Сведений о жизни и  деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились  лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

    2). В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

 Пусть нужно умножить 25 и 63.

Начертим таблицу в которой  две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине  другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).         

1        2	3     0
0      6	1      5

 

 

 

 

 

Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по  количеству десятичных знаков  у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху  таблицы записываем  число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок);

- теперь в каждый квадратик  впишем произведение цифр –  сомножителей, расположенных в одной  строчке и в одном столбце  с этим квадратиком, десятки  выше диагонали, единицы ниже;

- после  заполнения всех треугольников,  цифры в них складывают вдоль  каждой диагонали;

- результат записываем справа  и внизу таблицы (см. рисунок);

              

                                                      987 ∙ 12=11844

 

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

        Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

 

 

 

 

 

2.3 Индийский  способ умножения

Некоторые опытные учителя в  прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе  общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

_х23

 12

          276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

Первый шаг:         _х23           говорю: «2 х 3 = 6»

                                        12

         …6

 

Второй шаг: _х23        говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

          12

         .76

 

Третий шаг:       _х23          говорю: «1 х 2 = 2».

         12              пишу 2 левее цифры 7

         276               получаем 276.

 

 

Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без  перехода через разряд. Однако наши исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведем примеры:

 

_х528  _х24  _х15  _х18  _х317

 123   30   13   19     12

     64944         670             195            342             3804

 

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается  неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме  все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

 

2.4. Египетский способ умножения

 

Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее  пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень  сложно, особенно это касалось действия умножения (попробуй,  перемножь: ξφß*τδ). Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

 

 

Пример:     34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

 

Т.к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа  оставалось сложить числа, стоящие  в правом столбике против цифр 4 и 1  , т.е. 136 + 34 = 170.

                                       

2.5. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Умножали на пальцах  однозначные  числа от 6 до 9. Для этого на одной  руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил  число 5, а на второй делали то же самое  для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

 Пример:          8 ∙ 9 = 72

 

 

 

 

  Позже пальцевой счёт усовершенствовали  – научились показывать с  помощь пальцев числа до 10000

 

Движение пальца

А вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук  запомнить таблицу умножения  на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем  четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся  три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Еще пример:

   Пусть требуется умножить 3 * 9.

Слева направо найдите третий палец,  того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.

Справа  от загнутого пальца выпрямленными  окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите,  2 десятка и 7 единиц получится  27.

Сами пальцы показали это число.

 

         //        //   /////

20. 7

 

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Устный счет – гимнастика ума

3.1. Умножение  и деление на 4.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить  на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

 

3.2. Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно  умножить его на 0,2, то есть  в удвоенном  исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Умножение  на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

 

 

 

3.4. Умножение  на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

 

3.5. Умножение  на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают  0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

 

3.6. Умножение  на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

  45 * 11 = 495                 87 * 11 = 967

      4  (4+5)  5                    8  (8+7)  7

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

 

 

 

 

3.7. Умножение трехзначного числа на 101.

Например 125 * 101 = 12625

(увеличиваем первый множитель  на число его сотен и приписываем  к нему справа две последние  цифры первого множителя)

125 + 1 = 126   12625

Этот прием дети легко усваивают  при записи вычисления в столбик

х х125   101   + 125   125_   12625

х х348  101  +348  348_  35148

Еще пример:  527 * 101 = (527+5)27 = 53227

 

3.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25