Основы теории вероятностей

МВД РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МВД РОССИИ

Кафедра   специальных информационных технологий

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

ФОНДОВАЯ ЛЕКЦИЯ

по теме:

Основы теории вероятностей

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2010

Парфенов Н.П.

Математика и информатика: Фондовая лекция. СПб.: Санкт-Петербургский университет МВД России, 2010. 22с.

Краткая аннотация:

В лекции рассматриваются вопросы определения вероятностей случайных величин. Приводятся  основные аксиомы теории вероятностей. Кроме этого приводятся понятия теории вероятностей, их классификация.   также рассмотрены основные операции теории вероятностей.

Фондовая лекция рассмотрена на заседании кафедры специальных информационных технологий (протокол №3 от 23 ноября 2010 г.), одобрена на заседании методического совета Санкт-Петербургского университета МВД России, протокол №___от__________2010г.

Фондовая лекция рекомендована для организации учебных занятий по курсу «Математика и информатика».

Рецензенты:

В.Н. Родин, кандидат технических наук, доцент (Санкт-Петербургский университет МВД России);

С.А. Бобонец, кандидат технических наук, доцент, начальник кафедры математических и естественнонаучных дисциплин (Санкт-Петербургский институт внутренних войск МВД России).

©              Санкт-Петербургский университет

              МВД России, 2010

6

                                                                                        "Утверждаю"

                                                                                       Начальник  кафедры

                                                                   «Специальные информационные технологии»

                                                                           п-к мил.

                                                                                         А.А. Кабанов

План чтения лекции по учебной дисциплине

"Математика и информатика"

ЛЕКЦИЯ № 2/1 Основы теории вероятностей

Учебные и воспитательные цели:

1.Определить элементы теории вероятностей и вероятность наступления тех или иных событий.

2.Сформулировать аксиомы теории вероятностей.

3.Воспитывать у слушателей осознание важности изучения курса.

Наглядные материалы:

Литература:

1.Альбом схем по математике и информатике.

2.Аполлонский А.В. и др. Информатика и математика. Курс лекций. 2001.

3.Аполлонский А.В. и др. Информатика и математика. Наглядно-методическое пособие. М., 2004.

4.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.

5.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. Пособие для вузов. – Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 2001.

6.Файл   М_Конспект.doc.

Наглядные пособия (слайды):

1.   Элементы теории вероятностей

2.   Аксиомы теории вероятностей

Технические средства обучения:

1.                  Лектор-2000;

2.                  Экран переносной.

Учебные вопросы и расчет времени:

Лекция № 2/1 «Основы теории вероятностей»

Введение

Увязать изучаемый материал по второй теме с изученным материалом первой тема.

Вопрос 1. Элементы теории вероятностей.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий количественные закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при неоднократном воспроизведении при одинаковых условиях могут протекать по-разному. Неодинаковые результаты получаются при неизменности основных условий. Они всегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, которые меняются и вносят различия в результаты.

Объекты теории вероятностей

Случайное событие – всякий факт, который может произойти или не произойти в результате случайного явления.

Случайная величина – количественное проявление случайного явления, принимает различные значения.

Классификация событий

Все наблюдаемые при определенных условиях события можно разделить на следующие виды:

1)                 Достоверное – обязательно произойдет при определенных условиях. Например, выпадение какого-то очка при бросании кубика;

2)                 Невозможное – никогда не произойдет при определенных условиях. Например, выпадение 8 очков при однократном бросании одного кубика.

3)                 Случайное – может произойти или не произойти. Именно такие события изучает теория вероятности. Обозначается буквами латинского алфавита: А, В, С и т.п.

4)                 Несовместные – когда два события А и В одновременно не могут произойти.  Например, А – выпадение «орла», В – выпадение «решки». Аналогия с не пересекающимися множествами:

5)                 Совместные – когда два события А и В протекают одновременно. Например, при бросании 2-х кубиков выпадение четных очков. Аналогия с пересекающимися множествами.

6)                 Независимые – наступление события А не влияет на наступление события В. Например, стрельба 2-х человек по мишени: промах одного не влияет (не зависит) на результат другого.

7)                 Зависимые – наступление или не наступление события А влияет на возможность наступления события В. Например, А – вытаскивание из колоды бубновой карты, В – вытаскивание затем бубнового туза.

8)                 Элементарное (простое) – событие, содержащее только один исход, не разложимое на другие события. Например,

испытание – стрельба по мишени

случайное событие – выбить не менее 7 очков – содержит 4 исхода, значит это не элементарное событие

случайное событие – выбить 10 очков – элементарное.

Совокупность всех исходов испытания называют пространством элементарных событий (исходов).

9)                 Противоположное событие – все остальные случаи, кроме рассматриваемого события.

Вопрос 2. Вероятность события.

На множестве случайных событий вводится числовая мера p, которая для события A характеризует степень возможности его наступления – вероятность и имеет тем большее значение, чем вероятнее событие.

Таким образом, вероятность события А, обозначаемая p (A) – это числовая мера возможности наступления случайного события.

Курсант стреляет 10 раз. Какова вероятность, что попадет 3 раза? – 3/10, т.е. 0,3.

В математике вероятность любого события находится всегда в интервале (т.е. для вероятности введено соглашение):

0  p (A)  1

События, для которых p (A) = 0 называются невозможными (не могут наступить); События, для которых p (A) = 1 называются достоверными (достоверно известно об их наступлении).

2.1. Классическое определение вероятности

Исторически сложились различные подходы к определению вероятности.

Классическое определение вероятности сформировалось в 17 в. в результате анализа азартных игр и основано на понятии равновозможности событий, т.е. когда нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим:

1) появление орла или решки при одном подбрасывании монеты

2) случайный выбор какой-либо карты из колоды.

Рассмотрим испытание, в результате которого может появиться событие А. Например, испытание – бросание кубика, событие А – выпадение четных очков.

Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А.

Событие А – выпадение четных очков. Из 6-ти равновозможных исходов (от 1 до 6 очков) три исхода (2,4,6) являются благоприятными событию А.

Поэтому

где m –  число благоприятных исходов событию А

n – число всех возможных исходов.

m=3, n=6     p (чет.очков) = 3/6 = 0,5

Данное равенство (формулу) называют классическим определением вероятности.

2.2. Понятие полной группы событий

События A1, A2, ..., An образуют полную группу событий, если выполнены два условия:

- любые два события из рассматриваемого множества событий – несовместны

- в результате испытания одно из событий обязательно произойдет.

Например:

1)                 события выпадения очков от 1 до 6 при одном бросании

2)                 орла и решки и другие.

Используя понятие полной группы событий, можно дать следующее определение противоположного события: два единственно возможных несовместных события образуют полную группу: A и Ā:

А – попадание в цель