Основы теории вероятностей

2.3. Операции над событиями (результат – событие!)

•                      AB               произведение событий: происходит, когда одновременно наступают оба события A и B. Аналогии: операция пересечения множеств (∩ ) и операция логического умножения высказываний (^ - логическое «и»)

•                      A+B  сумма событий:: происходит, когда наступает хотя бы одно из событий – A или B. Аналогии: операция объединения множеств () и операция логического сложения (  - логическое «или»)

•                      Ā               противоположное событие – наступает во всех остальных случаях, кроме A. Аналогии: вычитание множеств и операция отрицания в логике ( «не» А)

Например, шарики, вытаскиваем два. События A: первый шарик – белый, B: второй шарик – белый:

•                      AB              оба белые

•                      A+B хотя бы один белый

•                      Ā               первый не белый

•                      ĀB              первый не белый, а второй - белый

К результатам операций, которые являются событиями, возможно применение операций над событиями, поэтому допустимы выражения, например, – вытащен ровно один белый.

Операции над случайными величинами

Если x – случайная величина, то x+1, x2 ,... также будут случайными величинами – они будут принимать разные значения; любые операции и функции числовой алгебры, применяемые к числам, будучи примененными к случайным величинам, дадут случайную величину. Более подробно о случайных величинах будем говорить через несколько занятий.

2.4. Отношения между событиями

Отношения между событиями соответствуют рассмотренной классификации событий.

Дополним рассмотрение зависимых событий, т.е. когда вероятность события «зависит» от наступления другого события.

Шарики: 1 б + 2 ч. Два раза вытаскивают шарик. Какова вероятность  каждый раз вытащить белый? Обозначим A – в первый раз белый, B – во второй раз белый. P(A) = P(B) = 1/3 (см. классический подход к определению вероятностей). А какова вероятность будет для второго раза, если известно, что в первый вытащен белый (наступило событие A) или вытащен черный (событие Ā)?

P (B|A) = 0. Запись читается: вероятность события B при условии, что наступило событие A, поэтому такую вероятность называют условной.

P (B|Ā) = 1/2

Задание. Для кубика: A = «выпало 1 очко», B = «менее 4 очков». Определить p(A), p(A|B), p(B|Ā).

События A, B называются независимыми, если вероятность события B не зависит от того, произошло событие A или нет: P (B|A) = P (B). В противном случае события зависимы.

Вопрос 3. Аксиомы теории вероятностей

1) Вероятность суммы 2-х совместных событий

p(A+B)= p(A )+ p(B) – p(AB),

для несовместных событий: p(A+B) = p(A )+ p(B)

Последнее выражение принято называть ТЕОРЕМОЙ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Если распространить на любое число несовместных событий, то:

P (A1+, A2,+ ...,+ An) = p(A1 ) + p(A2 ) + …+ p(An )

2) Справедлива формула

p(Ā) = 1 – p(A)      или  p(A) + p(Ā) =1 – сумма противоположных событий равна 1.

3) Вероятность произведения 2-х зависимых событий равн произведению одного из них на условную вероятность другого

p(АВ) = p(A) p(B|A) = p(B) p(A|B)= p(A) p(B|A)

Задача: Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность, что обе будут двумя тузами?

Событие А – первая карта туз

Событие В – вторая карта туз.

P(B)= 4/36= 1/9

p(A|B) = 3/35

p(BA) = p(B) p(A|B) = 1/9*3/35= 1/105

для независимых событий: p (AB) = p(A) p(B) - ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ

Последняя формула обобщается для трех и более событий:

p (ABC) = p (A) p (B|A) p (C|BA)

Заключение

Подводится итог пройденного материала, отмечается дисциплина курсантов на занятии.