Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку

Пример 1.3.2. Рассмотрим уравнение

≡f(x,y).                                                   (1.3.2)

Здесь, как и в уравнении (1.3.1), функция f непрерывна в области G=, - непрерывна в ℝ² \ L, L : у = 0, х, —- решение.

Следовательно, и для этого  уравнения области G± : ± y>0 суть области и !, а решение у=0, х , может быть как особым, так и обыкновенным. Покажем, что для пего реализуется первая из этих возможностей.

Способ 1. Интегрируя уравнение  в полуплоскости: у≥0, получаем его общее решение на множестве = \ ( : у≡ 1, х ) в виде

    y= ≡φ(x,C), (x,C) (1.3.3)

Линия L : у = 0, х , лежит в , но не может быть получена из (1.3.3) ни при каком значении постоянной С (равно как и любая ее собственная часть). Следовательно (по теореме 1.2.1, п.Б), у=0,  x особое решение уравнения (1.3.2). Отметим, что интегральная прямая : у≡1, х также не получается из (1.3.3) ни при каком значении С . Но и, следовательно, является обыкновенной интегральной кривой. А из (1.3.3) она не может быть получена ни при каком значении С лишь потому, что не лежит в , Она получается при С = 0 из общего решения уравнения (1.3.2)      y=

действующего на множестве где , т.е. при x≠0, y=0 при x=0.

Способ 2. Будем рассматривать  общее решение (1.3.3) уравнения (1.3.2) в полосе : 0 ≤ у < 1, т.е. будем считать, что в (1.3.3) (х,С):C , х ≥ С. В области х > С ехр{-} /(x-С)² существует, непрерывна и стремится к нулю при х → С. (С,С) . Во всей области D ). Следовательно, φ ,причем лишь при С = х. Но при С = х формула (1.3.3) дает: у = 0, х , По теореме 1.2.3 эта линия — огибающая семейства кривых (1.3.3). По теореме 1.2.2 функция у≡0, х , — особое решение уравнения (1.3.2).

Пример 1.3.3. Рассмотрим уравнение

≡f(x,y).

Здесь также f , — интегральная кривая, которая может претендовать на статус особой. Но уравнение (1.3.4) имеет на плоскости ℝ² общее решение

                         (1.3.5) 

из которого при С=0 получается решение у = 0, х . Следовательно (по теореме 1.2.1, п. А), оно является обыкновенным решением уравнения (1.3.4).

Пример 1.3.4. Рассмотрим уравнение

 

Здесь также f ,-единственная интегральная кривая, которая может быть особой. Уравнение (1.3.6) в полуплоскости : у ≥ 0 имеет общее решение (1.3.3), а в полуплоскости: у ≤ 0 — общее решение (1.3.5) (со знаком "—" перед экспонентой при С > 0), Применяя к этим общим решениям уравнения (1.3.6) теорему 2.1, находим из (1.3.3), что у≡ 0, х, — особое решение уравнения (1.3.6), а из (1.3.5), что у≡0, х , — обыкновенное решение уравнения (1.3.6), рассматриваемого в Следовательно, для уравнения (1.3.6), рассматриваемого во всей области задания ℝ², y≡0, х , — особое решение.

 4. Частный случай

Рассмотрим уравнение

                                   у' = f(у), f (c,d) ⊂ℝ                           (1.4.1)

Его область задания G = ℝ х (с, d). Допустим сначала, что f(y)≠0 в (с, d). Тогда любое решение уравнения (1.4.1) у=φ(х), х I, монотонно, а его обратная функция х = ψ(у), у J = φ(I), является решением уравнения

x' = g(y)=1/f(y).                                          (1.4.1')

Для (4.1') по теореме Коши (с, d) х ℝ — область единственности для (1.4.1) G — область единственности, любое его решение — обыкновенное.

Допустим теперь, что (с, d) : f() = 0, f(y)≠ 0 в (с, d) при у≠. Тогда у=, х , — решение уравнения (1.4.1). Исследуем его на "обыкновенность-особенность". Для этого будем рассматривать уравнение (1.4.1) в полосе , считая, что f(у) > 0 в (с, ).

Теорема 1.4.1 . Пусть у₀ ∊ (c,). Если несобственный интеграл

  расходится (сходится) , то y= x ∊ ℝ, обыкновенное

(особое) решение уравнения (1.4.1), рассматриваемого в полосе ,

Доказательство. Пусть () ∊ — произвольная точка, : у = х ∊ I = (), — полная (относительно области ) интегральная кривая уравнения (1.4.1).

Она представима также  в виде

. (1.4.2)

Если интеграл расходится, т.е. при у →   х=(у) → +∞, то решение (1.4.2) уравнения (1.4.1') не прoдолжимо на промежуток (с,] и, следовательно, ни одно решение уравнения (1.4.1) не выходит из полосы на прямую y=, а потому у=, x ∊ ℝ, — обыкновенное решение уравнения (1.4.1), рассматриваемого в

Пусть интеграл сходится: = т ∊ ℝ. Тогда при    решение его можно продолжить на промежуток (α,β], для чего достаточно положить ,  . Этим условиям удовлетворяет и решение у, х ∊ ℝ. Следовательно, (β,) — точка неединственности для (1.4.1). Но -произвольно ⇒ β=— произвольно ⇒ любая точка (β,) решения y=, х ∊ ℝ  - точка неединственности для (1.4.1) => это решение — особое. □

Замечание. Случай, когда f(у) < 0 в (с, ) сводится к рассматриваемому в теореме 4.1 заменой в уравнении (4.1) х на —х, а случай, когда с > , — заменой у на —у.

Примеры. Уравнения (1.3.1), (1.3.2), (1.3.4) и (1.3.6) суть уравнения вида (1.4.1). Для любого из них у = 0, х ∊ ℝ, — решение. Проверить его на обыкновенность - особенность можно и с помощью теоремы 1.4.1.

Для уравнения (1.3.1) при любом (т.е. сходится) ⇒ для (1.3.1) у = 0, х ∊ ℝ, — особое решение.

о

Для уравнения (1.3.2) при любом у₀, |у₀| ∊ (0,1), (т. е. сходится) ⇒ для (1.3.2) решение y=0, x ∊ ℝ - особое.

Для уравнения (1.3.4) при любом у₀, |уо| ∊ (0,1),

 (расходится) для (1.3.4) у = 0, х ∊   ℝ, — обыкновенное решение.

Для уравнения (1.3.6) при (расходится),

а при уо ∊ (0,1) (сходится) решение у=0, x ∊ ℝ— обыкновенное для уравнения (1.3,6), рассматриваемого в полуплоскости у ≤ 0, особое — для (1.3.6), рассматриваемого в полуплоскости у ≥0 или на всей плоскости ℝ².

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Уравнения, не разрешенные относительно производной

§ 1. Основные понятия

В этой части мы будем  рассматривать уравнение

F(х,у,у') = 0,                                   (2.1.1)

предполагая, что в нем F и , ∊ С(D), D (⊂ ℝ³) — область, причем (х,у,у')0 в любой области U ⊂ D (иначе в такой области U функция F не зависит от у' и, следовательно, уравнение (2.1.1) не является в ней дифференциальным).

Решением уравнения (2.1.1) называется любая функция класса С¹ φ : I =(α,β)→ℝ, (где I — открытый, полуоткрытый или невырожденный замкнутый промежуток оси х, которая, будучи подставлена в уравнение (1.1) вместо у, обращает его в тождество относительно х: F(x,φ(x),φ'(х))≡0, х ∊ I.

График любого решения  уравнения (2.1.1) называется интегральной кривой этого уравнения. Областью задания уравнения (2.1.1) называется множество С плоскости х,у такое, что уравнение

F(х_о,у_о,у') = 0 (2.1.2)

имеет хотя бы одно решение у' =, . Геометрически это означает, что уравнение (2.1.1) задает в любой точке ро ∊ G  хотя бы одно касательное направление для его интегральных кривых. Для уравнения (2.1.1) решения уравнения (2.1.2) называются допустимыми значениями y’ точке .

Задача  Коши для уравнения (2.1.1) ставится так: задается точка =( и допустимое для нее значение y’= у'₀; требуется найти решение уравнения φ, удовлетворяющее условиям

φ( (2.1.3)

Точка называется начальной точкой решения φ и соответствующей ему интегральной кривой уравнения.

Условия (2.1.3) называются начальными условиями искомого решения φ, а точка — начальной точкой решения φ и интегральной кривой у=φ(x). Говорят, что решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) единственно, если для любых двух ее решений при x ∊ . В противном случае говорят, что оно неединственно.

Решение уравнения (2.1.1) у=φ(х), х ∊ I, называется обыкновенным (особым), если для любой его точки решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) единственно (неединственно). Интегральная кривая уравнения (2.1.1) называется обыкновенной (особой), если она является его графиком обыкновенного (особого) решения.

Точка G) называется точкой единственности для уравнения (2.1.1), если для любого допустимого для нее значения у' = у'₀   решение задачи Коши (2.1.1),(2.1.3) единственно или не существует. В противном случае она называется для него точкой неединственности.

Соотношение

Ф(x,у,С) = 0,                   (2.1.4)

где С — произвольная постоянная, называется общим интегралом уравнения (2.1.1) на множестве , если оно для любой точки и любого допустимого для нее значения у'=у'₀ неявно определяет решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) и притом только одно.

По общему интегралу (2.1.4) уравнения (2.1.1) иногда можно найти и его особые интегральные кривые, лежащие в (как огибающие семейства интегральных кривых, определяемых этим интегралом).

Теорема 1.1 (второй достаточный признак огибающей) . Пусть

Ф(х,у,С) = 0, Ф ∊ С²(D), D ∊   ℝ³ - область, (2.1.5)

семейство кривых, зависящее от параметра С ∊ I = (а,b) и покрывающее множество С плоскости х, у, G х I ⊂ D. Пусть Ф'_с(х,у,С)≠0 на G х I. Если система уравнений

Ф(х,у,С) = 0, Ф'_с(х,у, С) = 0, (x,y,С)∊  G х I, (2.1.6)

имеет решение класса С¹

у = ψ(х), С = С(х), х∊ J                    (2.1.7)

причем  С'(х)≡0 на любом интервале то кривая у = ψ(х),х ∊ J, есть огибающая семейства кривых (2.1.5), касающаяся в любой своей точке ()) кривой этого семейства Ф(х,у,С(х_о)) = 0.

Доказательство. При выполнении условий теоремы семейство кривых (2.1.5) представимо в виде

              у = φ(х,С), φ  ∊  С²(W), W ⊂ ℝ² 

(где УС ∊ I (х,φ(х, С)) ∊ G), и, следовательно, система (1.6) может быть переписана в виде

      у = φ(x,С), Ф'_с(х,φ(x,С),С) = 0, (х,С) ∊ W.    (2.1.

При этом условие ее разрешимости в виде (2.1.7) означает следующее: второе из уравнений (2.1.6') имеет C¹-решение С = С(x), х ∊ J, С'(х)≢0 на любом интервале , в результате чего первое из равенств (2.1.6') принимает вид: у = ψ(х) ≡ φ(х,С(х)), х ∊ J, ψ ∊

Но поскольку функция  (2.1.5') неявно определяется уравнением (2.1.5), то

 

Следовательно, для семейства  кривых (2.1.5') уравнение =0 равносильно второму из уравнений (2.1.6'), а потому имеет вышеописанное решение С = С(х), х ∊  J . Из этого на основании теоремы 1.2.3 вытекает, что кривая у = ψ(х)≡φ(х,С(х)), х ∊  J, есть огибающая семейства кривых (2.1.5'), касающаяся в любой своей точке ()) кривой этого семейства у=φ(х,С(хо)), и, следовательно, огибающая семейства кривых (2.1.5), касающаяся в точке () кривой этого семейства Ф(x, у,С(хо)) = 0. □

Следствие 2.1.1. Пусть Ф(х,у,С) = 0, где С ∊ I = (а, b) — произвольная постоянная, есть общий интеграл уравнения (2.1.1) на множестве G. Если для семейства кривых (2.1.4) выполняются условия теоремы 2.1.1 и, следовательно, оно имеет огибающущю у = ψ(х), х ∊ J, то последняя является особой интегральной кривой уравнения (2.1.1).

Доказательство. Огибающая  семейства интегральных кривых уравнения (2.1.1) всегда яляется интегральной кривой этого уравнения. При этом каждя ее точка есть точка неединственности, а потому она всегда является особой интегральной кривой уравнения (2.1.1). □

§2. Общий случай

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (2.1.1) общего вида.

2.2.1. Геометрическая трактовка уравнения. Сначала будем трактовать переменные х,у,у' как декартовы прямоугольные координаты точки q ∊ ℝ³. В рамках такой трактовки уравнение (2.1.1), вообще говоря, определяет некоторую поверхность S, лежащую в области D. Сформулируем условие, при выполнении которого это действительно имеет место.

Условие 2.2.1. Пусть для (2.1.1) 1) F ∊ ,

 2)S={q=(x,y,

3) ∀ q ∊ S grad F(q)=(

При выполнении этого условия ∀ , а потому (согласно теореме существования неявной функции) ∃ окрестность U точки в D : в U уравнение (2.1.1) однозначно разрешимо относительно х, у или т.е. представимо в виде

x=(у, у'), у =(х,у'), или ,                (2.2.1)

где  ∀ i= 1,2,3 — область; при этом может случиться, что оно представимо в U двумя из этих способов или даже любым из них. Иными словами, при условии 2.2.1 ∀ окрестность U⊂D : часть Sмножества S представима хотя бы одним из уравнений (2.2.1) и, следовательно, представляет собой кусок С¹-гладкой поверхности. При этом все множество S есть конечное или счетное С¹-гладкое объединение таких кусков и, следовательно, представляет собой С¹-гладкую поверхность в D (2-мерное многообразие класса С¹).

Будучи -гладкой, поверхность S имеет в каждой своей точке касательную плоскость . Последняя определяется уравнением

 

так, что вектор grad F( является ее нормальным вектором. Множество К(⊂ S), в каждой точке q которого касательная плоскость П_q вертикальна называется криминантой уравнения (2.1.1). Но ∀ q ∊ П_q вертикальна grad F(q) горизонтален . Следовательно, криминанта K уравнения (1.1) определяется системой уравнений

F(х,y,у') = 0, = 0,                       (2.2.2)

а потому, вообще говоря, представляет собой кривую, лежащую на поверхности S. Например, если S сфера, то К — ее экватор.

Пусть π : ℝ³ → ℝ² — оператор вертикального проектирования точек q(x,y,) ∊ ℝ³ на плоскость х,у π(х,у,) = (х,у). Тогда согласно § 1 G = π(S) есть область задания дифференциального уравнения (2.1.1). Кривая d = π(K) называется его дискриминантной кривой.

Криминанта К уравнения (2.1.1) разбивает определяемую им поверхность S на конечное или счетное число частей , i ∊ ℕ', ℕ' — отрезок натурального числового ряда ℕ или весь этот ряд так, что

S\K=                   (2.2.3)

При этом ∀ i ∊ ℕ' на , а потому представима уравнением

 

Области и , і≠к, могут пересекаться, но, как следует из (2.3),

∀ ∊  (2.4)

 

2.2. Ветви уравнения (2.1.1). ∀ i ∊ ℕ' дополним часть поверхности S граничной дутой =. Положим Пусть — непрерывное продолжение на .Тогда а уравнения