Парадоксы в теории вероятностей

Баба считает, что сумма, которую он видит, не имеет значения ввиду возможности того, что в его конверте сумма больше. Это значит, что Баба полагает, что вероятность того, что сумма в его конверте больше, составляет ½ независимо от увиденной суммы. Это верно только если каждое значение от нуля до бесконечности равновероятно. Но если всё бесконечное число возможностей равновероятно, шанс каждого значения имеет нулевую вероятность. Тогда у каждого исхода нулевой шанс. А это нонсенс.

5.4 ФОРМАЛЬНАЯ  АРГУМЕНТАЦИЯ

Обозначим через  вероятность того, что в конверте Али находится сумма x. Когда Баба наблюдает в своём конверте сумму X, условная вероятность того, что Али в своём конверте имеет 2X, равна:

                                                         
                                                     (5.1),

где P(A=2X\B=X) - условная вероятность того, что у Али в конверте 2X, 
       f(x) – функция вероятности.

В формулировке задачи Баба считает, что эта вероятность  равна ½ независимо от того, какую  сумму X он видит в своём конверте. Поэтому для всех . Это означает, что постоянна на интервале от 0 до бесконечности. Однако, такой вероятности, равномерной на всей вещественной полуоси, быть не может. Если вероятность положительна и постоянна везде, то сумма вероятностей равна бесконечности, что невозможно. Итак, исходное предположение парадокса (равновероятность Х/2 и 2Х) нереализуемо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как и любая другая область науки, математика отражает множество противоречий окружающего нас мира. В связи  с этим в истории математики встречается  множество различных парадоксов -  истинных высказываний, для которых характерны неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме. Математика – история парадоксов. Особенно богата парадоксами теория вероятностей. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, где было бы столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Разрешение же различных парадоксов, связанных со случайностью, способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и её приложений. Величайшие открытия порой были результатом разрешения величайших парадоксов. В свою очередь эти открытия становились источниками новых парадоксов. Из всех методов обучения метод, основанный на познании нового через парадоксы (метод Сократа), является самым фундаментальным, т.к. процесс научного познания сам опирается на парадоксы. Следовательно, анализ и пошаговый разбор парадоксов теории вероятностей ведет к более глубокому пониманию предмета и лучшему осознанию сути дела.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г. Секкей, «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике» М., Мир. 1990
2.   Сергей Вальковский, Задача Монти Холла на http://elementy.ru.
3. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»       М.: Высшее образование. 2005
4. М. Гарднер «Гексафлексагоны и Другие Математические Развлечения»
5. Перевод статьи «Two Lessons from the St. Petersburg Paradox» Инвесто.ру
6. John G. Kemeny, J. Laurie Snell, and Gerald Thompson Introduction to Finite Mathematics . The first edition, 1957.(русский перевод: Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. Издательство иностранной литературы, 1963 г.