Первообразные для функции

ustify">  Таким образом, имеем   

  

  Следовательно, производные от х от право           й и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

  Функцию  следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

  Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в  виде , а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид       

    .

  Здесь удобно положить                                                                                               

       

      ,

  тогда

   .

  Приведем  несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.

  Пример 1.

   Сделаем подстановку t=sin x; тогда dt= cosx dx и, следовательно,

  

  Пример 2.

   Полагаем t=1+x2 ;тогда dt=2xdx и 

  

  Пример 3.

   Полагаем  ; тогда dx=a dt,

  

  Пример 4. . Полагаем ; тогда dx=a dt,

  

  (предполагается, что a>0).

  В примерах 3 и 4 выделены формулы ,приведенные  в таблице интегралов под номерами 11′и 13′(см. выше,пункт №2).

  Пример 5. Полагаем t=lnx; тогда

   .

  Пример 6. ? Полагаем ;тогда dt= 2xdx,

  

  Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда  мы интегрируем каким -либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных  вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит  в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную  замену переменных, которая упростила  бы данный интеграл. По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать  замену переменной при том или  ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть  настоящего пункта.

  5)Интегрирование  по частям

  Пусть u и v две дифференцируемые функции  от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей  формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

   .                                                   (1)

  Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего  применяется к интегрированию выражений  которые можно так представить  в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла   составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

  Пример 1. ? Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,

   .

  Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко  проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

  Правило интегрирования по частям применяется  во многих случаях. Так, например, интегралы  вида

  

  некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью  интегрирования по частям.

  Пример 2. Требуется вычислить  . Положим u= arctg x, dv=dx;тогда . Следовательно,

  

  Пример 3. Требуется вычислить  . Положим тогда    

      .

  Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая 

   Тогда

   . Окончательно будем иметь

   .

  Рациональные  дроби. Простейшие рациональные дроби  и их интегрирование

  Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому  очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

  Всякую  рациональную функцию можно представить  в виде рациональной дроби, т. е. в  виде отношения двух многочленов:

  

  Не  ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

  Если  степень числителя ниже степени  знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

  Если  дробь неправильная, то, разделив числитель  на знаменатель (по правилу деления  многочленов), можно представить  данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

   ;

  здесь М(х)-многочлен, а  - правильная дробь.

  Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь 

  

  Разделив  числитель на знаменатель (по правилу  деления многочленов), получим 

   .

  Так как интегрирование многочленов  не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

  Определение. Правильные рациональные дроби вида

  (1).

  (2). (k-целое положительное число

  (3)  (корни знаменателя комплексные, т.е. ).

  (4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.

  Интегрирование  простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

  (1)

  (2)

  (3)

  =

  Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам  дан интеграл такого типа:

  (4)

  Произведем  преобразования:

  

  Первый  интеграл берется подстановкой :

  

  Второй  интеграл- обозначим его через Ik-запишем  в виде

   ,

  полагая

  

  (по  предположению корни знаменателя  комплексные, а следовательно,  ). Далее поступаем следующим образом:

   .

  Преобразуем интеграл:

  

  Интегрируя  по частям ,будем иметь

   .

  Подставляя  это выражение в равенство (1), получим 

  

  =

  = .

  В правой части содержится интеграл того же типа, что  , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

  

  Подставляя  затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через  х и заданные числа А, B, p,q.

  Интегрирование  рациональных дробей

  Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби  Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

  Вид простейших дробей определяется корнями  знаменателя f(x). Здесь возможны следующие  случаи.

  1.Случай.

  Корни знаменателя действительны и  различны, т. е.

  F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).

  В этом случае дробь   разлагается на простейшие дроби 1типа:

  

  и тогда

  

  2. Случай.

  Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

  

  В этом случае дробь   разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.

  Пример 1.

  

  3. Случай.

  Среди корней знаменателя есть комплексные  неповторяющиеся(т.е. различные):

  

  В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.

  Пример 2.Требуется вычислить интеграл

   .Разложим подынтегральную дробь  на простейшие:       

   

  Следовательно,       

      .

  Полагая х=1, получим 1=2С, С= ½; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.

  Приравнивая коэффициенты при  , получим 0=А+С, откуда А= - ½. Таким образом ,

  

  4. Случай.

  Среди корней знаменателя есть комплексные  кратные:

  

  В этом случае разложение дроби  будет содержать и простейшие дроби 4 типа.

  Пример 3. Требуется вычислить интеграл

   .

  Решение. Разлагаем дробь на простейшие:

  

  откуда

  

  Комбинируя  указанные выше методы определения  коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.

  Таким образом, получаем

  

  Из  всего изложенного следует, что  интеграл от любой рациональной функции  может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

  через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

  через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

  через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

  через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.

  Интегралы от иррациональных функций

  Не  от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Сейчас мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с  помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций  и, следовательно, до конца интегрируются.