Поняття діофантового рівняння

 

Зміст

 

Вступ…………………………………………………………………...3

§Теоретична частина………………………………………………….7

1. Поняття діофантового рівняння……………………………….7
2. Основні методи розв’язування діофантових рівнянь………...8
3. Лінійні діофантові рівняння…………………………………..14
4. Невизначені рівняння вищих порядків.

Рівняння  . Піфагорові трійки…………….………..18

§Практична частина………………………………………………….32

Висновок……………………………………………………………...39

Список використаної літератури……………………………………40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Для того, аби  якнайкраще зрозуміти діофантові рівняння та методи їх розв’язування, ознайомимось із історією Діофанта та його роботами. У наші дні кожен, хто займався математикою як професіонал або як шанувальник, чув про діофантові рівняння і навіть про діофантовий аналіз. За останні 15-20 років ця область стала «модною» завдяки своїй близькості до алгебраїчної геометрії -  володарка дум сучасних математиків. Тим часом, про те, хто дав ім'я невизначеному аналізу, про самого Діофанта, одному з найбільш цікавих вчених античності, майже нічого не написано. Про його роботи навіть історики науки мають найбільш хибне уявлення. Більшість з них вважає, що Діофант займався розв’язуванням окремих завдань, рівносильних невизначеним рівнянням, застосовуючи для цього хитромудрі, але частинні методи.   Діофант представляє одну з найбільш важких загадок в історії науки. Нам не відомі ні час, коли він жив, ні попередники його, які працювали б в тій самій області. Праці його подібні виблискуючому вогню серед повної непроникної темряви. [1,7]   Аби дізнатися все відоме про особистість Діофанта, наведемо вірш-загадку, який до нас дійшов:   Путнику! Тут  поховано прах Діофанта. І розповісти про  те, який вік його був дуже довгий, можна лиш мовою  чисел. Шосту частину  його становило прекрасне дитинство. Дванадцята  частка кінчилась – покрилося  пухом його підборіддя. Сьому частину  життя провів Діофант у бездітному шлюбі. Минуло п’ять  років, і він став батьком  щасливим – первісток синок народився  у нього. Та синові доля судила прожити лише половину прекрасного й  світлого життя на землі у порівнянні з батьком. І в скорботі глибокій старий ще прожив роки чотири з тих пір, як сина він  втратив.[3,27]   Нескладно підрахувати, що Діофант прожив 84 роки, бо цей  вірш можна представити як рівняння першої степені з однією невідомою: Домножимо обидві частини на 84, аби позбутися дробів: Також можна  дізнатися такі риси його біографії: він одружився, коли йому був 21 рік, став батьком на 38 році, втратив сина на 80 році і помер у 84 роки. Багато речей і багато здогадок Діофанта досі залишаються нерозгаданими таємницями, і знав їх лише тільки Діофант Олександрійський - давньогрецький математик і прекрасна людина!           І це лише частина тих книг, які випущені за його творам і дослідженнями, найбільш видавнича з його творів - це Діофанта рівняння.

Про час життя  Діофанта ми можемо судити з робіт французького дослідника науки Поля Таннрі, і це, ймовірно, середина III ст.н.е.  
Дуже цікавою є діяльність Діофанта. До нас дійшло 7 книг із 13, які були об’єднані в «Арифметику». Стиль і зміст цих книг дуже відрізняється від класичних книг з теорії чисел та алгебри, зразки яких ми знаємо з «Начал» Евкліда, лем Архімеда і Аполлонія. «Арифметика», безсумнівно, є результатом багаточисленних досліджень, велика кількість з яких залишилась нам невідомою.

«Арифметика» Діофанта – це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких має розв'язання і необхідні пояснення. В збірник входять різноманітні задачі, і їх розв’язання дуже часто не так просто зрозуміти. Діофант практикувався у знаходженні розв’язків невизначених рівнянь вигляду ,  , або систем таких рівнянь. Його цікавили тільки додатні цілі числа і раціональні розв’язки. Ірраціональні розв’язки він називав «неможливими» і ретельно підбирав коефіцієнти так, щоб отримати шукані додатні, раціональні розв’язки.

Особливість «Арифметики» є у постановці та оригінальному розв’язанні нових алгебраїчних задач, а також у застосуванні Діофантом символіки. У вступі до книги Діофанта І.Г.Башмакова пише: «Діофант був останнім великим математиком античності. Разом з тим він був одним із перших творців алгебри, яка базується не на геометрії, а на арифметиці. Саме Діофант ввів від’ємні числа та користувався літерною символікою. Можна стверджувати, що його творіння позитивно сприяли на формування літерної алгебри, як і творчість Архімеда на створення диференційного та інтегрального числення. Але не тільки одна алгебра сходить до Діофанта. «Арифметика» Дофанта послужила відправним пунктом для теоретично – числових досліджень Ферми та Ейлера, особливо для розвитку теорії невизначених рівнянь, які отримали в честь їх творця ім’я діофантові».[6]

Тому ,зазвичай, довільне невизначене рівняння (але, як правило, з цілими коефіцієнтами) називають «діофантовим», якщо хочуть наголосити на тому, що рівняння слід розв’язувати в цілих числах.

Невизначені рівняння першого степеня почали розглядати математики, приблизно в V ст.. Деякі такі рівняння з двома, трьома невідомими з’явились у зв’язку з проблемами, які виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, пов’язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ.

В 1624 році була опублікована книга французького математика Баше де Мезирьяка , у якій для розв'язку рівняння 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 фактично застосовується процес, що зводиться до послідовного визначення неповних часткових підхідних дробів.   Після Баше в XVII і XVIII століттях різні алгоритми для розв'язку невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер та інші математики.

За допомогою  рівнянь, зокрема, діофантових, розв’язується багато різних   задач з алгебри, фізики, хімії, але цьому питанню приділяється мало уваги в діючих підручниках математики.

Багато завдань, викладені в даній роботі, можуть бути використані в курсі алгебри середньої школи і на факультативах за темою «діофантових рівнянь» з метою розширення математичного кругозору учнів.  
У шкільному курсі математики діофантові рівняння не вивчаються, але діофантові рівняння часто зустрічаються в олімпіадних задачах. Тобто, учневі для успішної здачі ЗНО потрібно знати методику розв’язування діофантових рівнянь. Саме через це діофантові рівняння актуальні і досі.

Згідно з  цим визначається мета: ознайомлення та застосування різних методів при  розв’язуванні діофантових рівнянь.

Робота складається  із двох частин: теоретичної частини та практичної.

 

§1.Теоретична частина.

1. Поняття діофантового рівняння.

Діофантові  рівняння — невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами виду в яких невідомі змінні можуть приймати тільки цілі значення. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта Олександрійського.

Приклади:

• Лінійне рівняння: . Дане рівняння має розв'язки тоді й лише тоді коли НСД ділить a. 
• Рівняння Безу:  .   Має розв'язок  тоді  і  тільки  тоді  коли d = НСД(a,b).
• При розв’язками цього рівняння є Піфагорові трійки.
• Велика теорема Ферма стверджує, що це рівняння не має додатніх цілих рішень при .
• , де n не є точним квадратом — рівняння Пелля.
• , где , — рівняння Каталана.
• при и —рівняння Туе. [9]

При розгляді питання розв'язання алгебраїчних діофантових рівнянь можна скористатися тим, що будь-яку систему таких рівнянь можна перетворити в одне діофантове рівняння степеня не вище 4 в цілих невід'ємних числах, яке можна розв'язати тоді і тільки тоді, коли вихідна система має розв’язок (при цьому безліч змінних і безліч розв’язків цього нового рівняння може виявитися зовсім інакшим).  
Діофантові рівняння називаються алгебраїчними рівняннями з двома або більше невідомими з цілими коефіцієнтами, розв’язки якого шукаються в цілих або раціональних числах.

Наприклад, рівняння 3x — 5y = 1 має корені x = 7, y = 4; а взагалі-то його коренями можуть бути цілі числа виду x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

Зазвичай передбачається, що діофантові рівняння мають число невідомих, що перевершує число рівнянь, у зв'язку з чим вони називаються також невизначеними рівняннями. Поняття діофантові рівняння в сучасній математиці часто відносять також до алгебраїчних рівнянь, розв’язок яких відшукується серед цілих алгебраїчних чисел якого-небудь алгебраїчного розширення поля раціональних чисел Q.

2. Основні  методи розв’язування діофантових  рівнянь.

При вирішенні рівнянь в цілих і натуральних числах можна умовно виділити наступні методи:

1. Спосіб перебору варіантів.
2. Алгоритм Евкліда.
3. Ланцюгові дроби.
4. Метод розкладу на множники.
5. Розв'язання рівнянь в цілих числах як квадратного відносно будь-якої змінної.
6. Метод остач.
7. Метод невизначеного або нескінченного спуску.

 

1. Спосіб перебору варіантів.

Задача.

Припустимо, в акваріумі живуть восьминоги і морські зірки.

У восьминогів по 8 ніг, а в морських зірок - по 5. Всього кінцівок налічується 39. Скільки в акваріумі тварин?  
        Розв'язання. 
Нехай х - кількість морських зірок, у - кількість восьминогів. Тоді у всіх восьминогів по 8у ніг, а у всіх зірок 5х ніг. Складемо рівняння: 5х + 8у = 39. Зауважимо, що кількість тварин не може виражатися нецілим або від’ємним числом. Отже, якщо х - ціле невід'ємне число, то і у = (39 - 5х) / 8 повинне бути цілим і невід'ємним, а це означає,що потрібно, аби вираз 39 - 5х без остачі ділився на 8. Простий перебір варіантів показує, що це можливо тільки при х = 3, тоді у = 3.

Відповідь: (3; 3)  [6, c. 163]

 

2. Алгоритм Евкліда.

Можна знайти НСД натуральних чисел a і b, не розкладаючи ці числа на прості множники, а застосовуючи процес ділення із остачею. Для цього треба розділити більше з цих чисел на менше, потім менше з чисел на остачу при першому діленні, потім остачу при першому діленні на остачу при другому поділі і вести цей процес до тих пір, доки не відбудеться ділення без остачі. Остання відмінна від нуля остача і є шуканий НСД (a, b).

Аби довести це твердження, уявімо описаний процес у вигляді наступної ланцюжка рівностей: якщо a>b, то

a = bq₀ + r₁

b = r₁q₁ + r₂

r₁ = r₂q₂ + r₃    (1)

. . . . . . . . . . . .

r_{n – 1} = r_nq_n

Потім r₁, . . . , r_n  - додатні остачі, спадні із зростанням номера. З першої рівності випливає, що загальний дільник чисел a і b ділить r₁ і загальний дільник b і r₁ ділить a, тому НСД (a,b) = НСД (b, r₁) = НСД (r₁, r₂) = … = НСД (r_{n -1}, r_n)=  = НСД (r_n, 0) = r_n. Твердження доведено. Наведений спосіб знаходження НСД носить назву методу послідовного ділення з остачею або алгоритму Евкліда, оскільки вперше він був викладений у його «Початках».

Звернемось до системи  (1).  Із першої рівності, виразивши остачу r₁ через a і b, отримаємо r₁ = a – bq₀. Продовжуючи цей процес, ми можемо виразити всі остачі через a і b, отримаємо r₁ = a – bq₀. Підставляючи його в другу рівність, знайдемо r₂ = b(1 + q₀q₁) – aq₁. Продовжуючи  цей  процес далі,  ми  зможемо виразити  всі  остачі  через a і b, в тому числі і останній: r_n = Aa + Bb. У результаті нами доведено твердження: якщо d - найбільший спільний дільник натуральних чисел a і b,то знайдуться такі цілі числа A і  B,  що d = Aa + Bb. Зауважимо, що коефіцієнти A і B мають різні знаки; якщо НСД (a, b) = 1, то Aa + Bb = 1. Як знайти числа A і B, видно з алгоритму Евкліда.

Перейдемо тепер до розв’язування лінійного рівняння з двома невідомими. Воно має вигляд:

ax + by = c    (2)

Можливі два випадки: або число c ділиться на d = НСД (a, b), або ні. У першому випадку можна розділити обидві частини рівняння на d і звести завдання до розв’язування в цілих числах рівняння a₁x = b₁y = c₁, коефіцієнти якого a₁ = і b₁ = взаємно прості. У другому випадку рівняння не має цілих розв’язків: при будь-яких цілих x та y число ax + by ділиться на d і тому не може дорівнювати числу c, яке на d не ділиться.

Отже, ми можемо обмежитися випадком, коли в рівнянні (2) коефіцієнти a і b взаємно прості. На підставі попереднього речення знайдуться такі цілі числа х₀ і у₀, що ax₀ + by₀ = 1, звідки пара (сх₀, су₀) задовольняє рівняння (2).

Разом з нею рівняння (2) задовольняє нескінченна множина пар (х, у) цілих чисел, які можна знайти за формулами:

х = сх₀ + bt,      y = cy₀ – at.    (3)

Тут t - будь-яке число. Неважко показати, що інших цілих розв’язків рівняння ах + by = c не має. Розв’язання, записане у вигляді (3), називається загальним розв'язком рівняння (2). Підставивши замість t конкретне ціле число, отримаємо його частинний розв’язок.