Преобразование фурье

Представлялось  очевидным, что предсказывающая  приливы машина с большим количеством механических элементов счёта сможет вычислить большее число амплитуд и фаз и, таким образом, обеспечит более точные предсказания. Однако оказалось, что эта закономерность не соблюдалась в случае, когда приливная функция, которую нужно было синтезировать, содержала резкий скачок, или, другими словами, по существу являлась разрывной функцией.

Предположим, мы ввели числа из таблицы моментов времени и высоты приливов в предсказывающую  машину, которая затем вычисляет  несколько коэффициентов Фурье. Исходную функцию можно затем восстановить по синусоидальным компонентам, соответствующим вычисленным коэффициентам, и расхождение между исходной и восстановленной функциями можно измерить в каждой точке. Процедуру, определяющую эти расхождения, можно повторять, каждый раз подсчитывая новые коэффициенты и подставляя их в восстановленную функцию. Мы увидим, что при каждом повторении значение максимальной ошибки не уменьшается. В то же время расхождения локализуются в той области кривой, которая прилегает к точке разрыва, и в конечном итоге в любой заданной точке величина расхождения приближается к нулю. Джошуа Уиллард Гиббс из Йельского университета теоретически подтвердил этот результат в 1899 году.

Анализ Фурье  остаётся неприменимым к необычным функциям, в частности таким, которые содержат бесконечное количество конечных скачков на конечном интервале. Однако в общем и целом ряд Фурье всегда сходится, если исходная функция представляет собой результат реального физического измерения.

Вопрос о сходимости рядов Фурье для тех или иных классов функций привёл к появлению новых областей в математике. Одним из примеров в этом смысле является теория обобщённых функций, связанная с такими именами, как Дж. Темпл, Дж. Микусинский и Л. Шварц. В рамках этой теории была подведена чёткая теоретическая основа под такие функции, как ступенька Хевисайда и дельта-функция Дирака (последняя описывает область единичной площади, сконцентрированную в бесконечно малой окрестности точки). Благодаря этой теории преобразование Фурье стало применимым для решения уравнений, в которых фигурируют такие интуитивные понятия, как точечная масса, точечный заряд, магнитные диполи и сосредоточенная нагрузка на балке.

Развивавшаяся на протяжении почти двух столетий теория, связанная с преобразованием Фурье, теперь уже окончательно сформировалась. При помощи анализа Фурье пространственная или временная функция разбивается на синусоидальные составляющие, каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и фазу. Преобразование Фурье — это функция, представляющая амплитуду и фазу, соответствующие каждой частоте. Преобразование можно получить двумя различными математическими методами, один из которых применяется, когда исходная функция непрерывна, а другой — когда она состоит из множества отдельных дискретных измерений.

Если эта функция  получена из значений с определёнными  дискретными интервалами, её можно  разбить на ряд синусоидальных функций  с дискретными частотами —  от самой низкой, главной частоты  и далее с частотами, вдвое, втрое  и т.д. выше главной. Такая сумма синусоид называется рядом Фурье.

Если же исходная функция задаёт значение для каждого  действительного числа, её можно  разложить на синусоидальные функции  всех возможных частот; эти функции  объединяются посредством операции, называемой интегралом Фурье. Преобразование Фурье не является ни рядом, ни интегралом Фурье. В случае дискретной функции — это зависящий от частоты список амплитуд и фаз, соответствующих компонентам ряда Фурье. В случае же непрерывной функции — это функция частоты, получающаяся при вычислении интеграла Фурье.

Независимо от способа, которым получается преобразование, для каждой частоты необходимо указать  два числа. Это могут быть амплитуда  и частота, однако ту же информацию могут кодировать и другие пары чисел. Эти значения можно выразить в виде одного комплексного числа. (Комплексное число представляет собой сумму одного действительного числа с другим действительным числом, умноженным на квадратный корень из минус единицы.) Таким представлением пользуются очень широко, так как оно позволяет привлечь математический аппарат алгебры комплексных чисел. Теория функций комплексных переменных и преобразование Фурье стали необходимыми в численных вычислениях, проводимых при конструировании электрических цепей, анализе механических колебаний и изучении механизма распространения волн.

Представление исходной функции комплексным преобразованием  Фурье даёт ряд преимуществ при  вычислениях. Типичная задача заключается, например, в том, чтобы рассчитать ток в заданной цепи при известном приложенном к ней напряжении. Если решать эту задачу прямым методом, то приходится иметь дело со сложным дифференциальным уравнением, связывающим функции напряжения и тока. В то же время преобразования Фурье от функций напряжения и тока можно связать уравнением, которое решается тривиально.

В наше время изучение преобразования Фурье главным образом сводится к поиску эффективных способов перехода от функций к их преобразованному виду и обратно. Чтобы вычислить интеграл Фурье и произвести преобразование, можно воспользоваться аналитическими методами. И хотя при попытке применения этих методов в повседневной практике могут возникнуть определённые трудности, многие интегралы Фурье уже найдены и сведены в математические справочники. Кроме того, эти методы можно дополнить, ознакомившись с несколькими полезными теоремами, относящимися к преобразованиям Фурье. С помощью этих теорем можно справиться с более или менее сложными волновыми функциями путём сведения их к ряду более простых составляющих.

К счастью, существуют ещё и численные методы, позволяющие  рассчитывать преобразования Фурье  для функций, форма которых основана на экспериментальных данных, или  функций, интегралы Фурье от которых  аналитически взять трудно и в таблицах они отсутствуют. До появления компьютеров численные расчёты преобразований были довольно утомительными, так как приходилось выполнять большое количество арифметических операций вручную. Время, требующееся для расчётов, можно было немного сократить за счёт использования специальных бланков и унификации процедур, однако трудоёмкость этих расчётов оставалась всё же огромной.

Количество необходимых  арифметических операций зависело от числа точек, требовавшегося для  описания волновой функции. Количество сложений было примерно таким же, что и число точек, а количество умножений было равно квадрату числа точек. Например, для анализа волновой функции, заданной 1000 точек, равномерно распределённых на интервале, необходимо было выполнить примерно 1000 сложений и ровно один миллион умножений.

Расчёты подобного  рода стали более доступными с  появлением компьютеров и специальных  программ, реализующих новые методы анализа Фурье. Один такой метод  был разработан в 1965 году Джеймсом У. Кули из Исследовательского центра им. Томаса Уотсона корпорации IBM и Джоном У. Тьюки из Bell Telephone Laboratories в Муррей-Хилле (шт. Нью-Йорк). Их работа привела к созданию программы, получившей известность как быстрое преобразование Фурье.

В быстром преобразовании Фурье время вычислений экономится за счёт уменьшения количества умножений, необходимых для анализа кривой. В то время количество умножений имело такое важное значение просто потому, что операция умножения выполнялась значительно медленнее других машинных операций, таких как сложение, считывание из памяти или записать данных в память.

В методе быстрого преобразования Фурье кривая делится  на большое число равномерно распределённых выборочных значений. Количество умножений, необходимое для анализа кривой, уменьшается наполовину при таком же уменьшении количества точек. Например, кривая с 16 выборочными значениями обычно требует 16 в квадрате, или 256 умножений. Но предположим, что кривая была поделена на два интервала, по 8 точек в каждом. В этом случае количество умножений, требующихся для анализа каждого интервала, равно 8², или 64. В сумме для обоих интервалов получаем 128, или половину от исходного количества.

Но если при  делении последовательности точек  пополам мы получаем двукратную выгоду, то почему бы не продолжить эту стратегию дальше? Продолжив процесс разбиения, мы придём к восьми неделимым сегментам, по две точки в каждом. Преобразование Фурье для этих двухточечных сегментов можно вычислить, не прибегая к операции умножения, однако операции умножения всё же потребуются при комбинировании двухточечных преобразований в единое целое. Сначала 8 двухточечных преобразований объединяются в 4 четырёхточечных, а затем — в 2 восьмиточечных, и наконец последние сливаются в одно искомое 16-точечное преобразование. На каждой из этих трёх стадий объединения сегментов требуется по 16 операций умножения, и таким образом, полное количество умножений будет равно 48, что составит лишь 3/16 от исходных 256. [Ричард Блейхут в своей книге «Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов» (М., Мир, 1989) называет «злополучным мифом» широко распространившееся мнение о том, что дискретное преобразование Фурье становится быстрым только тогда, когда длина блока равна степени двойки. На самом же деле хорошие БПФ-алгоритмы существуют практически для произвольной длины блока. — E.G.A.]

Поиски способов сокращения объема вычислительной работы начались ещё задолго до Кули и  Тьюки и связаны с именем астронома  Карла Фридриха Гаусса. [Забавно, иначе не скажешь... И всё-таки, несмотря на то, что Гаусс закончил свой жизненный путь директором гёттингенской обсерватории, он, в первую очередь, был математиком. — E.G.A.] Гаусс хотел рассчитать орбиты комет и астероидов по данным всего лишь нескольких наблюдений. Найдя способ решения задачи, он нашёл также способ уменьшить сложность вычислений, воспользовавшись принципами, аналогичными тем, что лежат в основе быстрого преобразования Фурье. В 1805 году, излагая свою работу, Гаусс, в частности, писал: «Не трудно убедиться на собственном опыте, что этот метод значительно облегчит тяготы механической вычислительной работы». Таким образом, проблемы небесной механики не только привели к созданию аппарата высшей математики, но и стимулировали возникновение современных численных методов расчёта.

Физикам и инженерам, усвоившим алгебру комплексных чисел ещё в студенческие годы, представление функции в виде синусоид значительно облегчило решение многих задач. Пользуясь удобным представлением преобразования Фурье в виде комплексной функции, мы забываем иногда, что лежащие в основе этого подхода синусоидальные компоненты действительны, а не обязательно комплексны. Инерция привычки не позволила в своё время разглядеть важность и замедлила начало практического применения преобразования, сходного с преобразованием Фурье и предложенного Ральфом В. Л. Хартли в 1942 году.

Работавший в  научно-исследовательской лаборатории  компании Western Electric Хартли руководил  первыми разработками радиоприёмников  для трансатлантической радиотелефонной связи и изобрёл колебательный контур, названный в его честь схемой Хартли. Во время первой мировой войны Хартли занимался изучением того, как человек определяет направление, откуда поступает слышимый им звук. Работая в послевоенный период в Bell Laboratories, Хартли первым сформулировал важный принцип теории передачи информации, утверждающий, что полное количество информации, которое способна передать система, пропорционально произведению ширины частотного диапазона передающей системы на время, в течение которого происходит передача. В 1929 году в связи с ухудшением здоровья Хартли отказался от дальнейшего руководства проектом. А когда он поправился, то решил посвятить себя теоретическим исследованиям, в результате которых им было разработано преобразование, названное его именем.

Преобразование  Хартли — это ещё один способ анализа заданной функции посредством  синусоид. Отличие между ним и  преобразованием Фурье довольно простое. В то время как в преобразовании Фурье присутствуют действительные и мнимые числа, а также комплексная сумма синусоидальных функций, в преобразовании Хартли используются только действительные числа и действительная сумма синусоидальных функций.